ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.7. Евклидовы линейные пространства 31
Теорема 7 (о размерности линейной оболочки). Размерность ли-
нейной оболочки L(x
1
, x
2
, . . . , x
m
) равна числу r, если среди векто-
ров x
1
, x
2
, . . . , x
m
имеется линейно независимая подсистема, состоя-
щая из r векторов, а любая подсистема из (r + 1) векторов линейно
зависима.
Теорему примем без доказательства.
Из этой теоремы и следствия 7 из теоремы о базисном миноре
следует, что размерность линейной оболочки векторов из R
n
равна
рангу матрицы, составленной из координат этих векторов относи-
тельно любого базиса.
3.7. Евклидовы линейные пространства
Понятие модуля вектора или его нормы можно ввести многими
способами. Мы сделаем это с помощью понятия скалярного произве-
дения.
Определение. Предположим, что имеется некоторое правило, поз-
воляющее любой паре векторов x и y из линейного пространства R
сопоставить число, обозначаемое (x, y). Это число называется ска-
лярным произведением векторов x и y, если выполнены следующие
условия:
а) (x, y) = (y, x) для любых x и y из R;
б) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) для любых x, y, z из R;
в) (λx, y) = λ(x, y) для любого числа λ и любых векторов x и y
из R;
г) (x, x) > 0, если x 6= 0, и (x, x) = 0, если x = 0.
Линейное пространство R называется евклидовым, если в нём вве-
дено понятие скалярного произведения.
Через E
n
будем обозначать n-мерное евклидово пространство.
Евклидово линейное пространство называют также унитарным,
или предгильбертовым.
Пусть x = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
)
T
и y = (β
1
, β
2
, . . . , β
n
)
T
— два про-
извольных вектора из арифметического пространства R
n
. Положим
(x, y) = α
1
β
1
+ α
2
β
2
+ . . . + α
n
β
n
. (3.7)
При этом условия а) — г), очевидно, выполнены. Тем самым ариф-
метическое пространство превращено в евклидово.
Определение. Длиной вектора x (модулем, нормой) в евклидовом
пространстве называется число
|x| = ||x|| =
p
(x, x).
Если скалярное произведение введено соотношением (3.7), то
|x| =
√
α
1
2
+ α
2
2
+ . . . + α
n
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
