Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

34 3. Линейные пространства
2) для любых точек M, N и P из A имеет место равенство
MN + NP = MP. (3.11)
Построенная таким образом математическая структура, состо-
ящая из множества точек с присоединённым к нему линейным
пространством и соответствием, удовлетворяющим указанным двум
свойствам, называется аффинным пространством.
Аффинное пространство A называется n-мерным и обозначается
A
n
, если пространство R n-мерно.
Очевидны следующие простые утверждения.
1. Для любой точки M из A вектору MM соответствует 0 из R.
Действительно, пусть NM → x, MM → y из R. Так как NM =
= NM + MM → x + y, то y = 0 из R.
2. Для любых точек M и N из A име ет место равенство MN =
= (−1)NM.
Действительно, если MN → x, NM → y, то MN+NM = MM →
→ x+y = 0. Отсюда следует, что x = −y, т.е. MN → (−1)y и MN =
= (−1)NM. Пишут также MN = −NM.
Зафиксируем какую-нибуд ь точку O в A
n
и построим векторы
OK
i
= e
i
, i =
1, n, соответствующие векторам базиса пространства
R
n
. Полученная конструкция называется аффинной системой коор-
динат. Точку O называют её началом.
Пусть M — любая точка A
n
. Вектор OM называется радиус-
вектором точки M. Координатами точки M называются коорди-
наты её радиус-вектора, т.е. если OM = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ . . . + x
n
e
n
,
то точка M имеет координаты (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) относительно данной
системы координат. Существование и единственность координат век-
тора OM, а потому и координат точки относительно данной системы
координат, вытекает из соответствующего утверждения дл я R
n
. Пи-
шут M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
Решим следующую задачу. Зная координаты точек M и N от-
носительно данной системы координат, найти координаты вектора
MN.
Решение. По формуле (3.11) находим OM + MN = ON. Отсюда
MN = ON − OM, т.е. координаты вектора MN равны разностям
соответствующих координат его конца и начала.
Если к множеству A точек присоединим n-мерное евклидово про-
странство E
n
таким же образом, как это сделали при построении аф-
финного пространства A
n
, то полученная при этом математическая
структура называется n-мерным евклидовым точечно-векторным
пространством и обозначается V
n
.
Если M и N — две любые точки из V
n
и MN → x, то расстоянием
между точками M и N или модулем вектора MN назовём число
ρ(M, N) = |x| =
p
(x, x).

Страницы