Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4.5. Системы линейных однородных уравнений 45
то исходная система эквивалентна системе, расширенной матрицей
которой служит матрица (б). Согласно выбору базисного минора,
неизвестные x
1
и x
2
приняты в качестве зависимых, а x
3
, x
4
, x
5
—
оставлены свободными.
Матрице (б), после вычёркивания из неё двух последних строк,
соответствует система
x
1
− 7x
2
− 3x
3
+ 4x
4
+ 2x
5
= −3,
x
2
+ 2x
3
− 3x
4
+ x
5
= 1.
Перенесём члены, содержащие свободные неизвестные, вправо:
x
1
− 7x
2
= − 3 + 3x
3
− 4x
4
− 2x
5
,
x
2
= 1 − 2x
3
+ 3x
4
− x
5
.
Выражаем зависимые переменные через свободные. Получаем
x
1
= 4 − 11x
3
+ 17x
4
− 9x
5
,
x
2
= 1 − 2x
3
+ 3x
4
− x
5
.
(в)
Соотношение (в) является общим решением системы. Из (в) можно
получить любое число частных решений, придав свободным неиз -
вестным какие-либо значения. Например, положив x
3
= 1, x
4
= 0,
x
5
= −1, получим решение (2, 0, 1, 0, −1).
4.5. Системы линейных однородных уравнений
Система линейных уравнений
a
k
i
x
i
= 0, i =
1, n, k = 1, m, (4.6)
называется однородной.
Система (4.6) всегда совместна, так как всегда имеется решение
(0, 0, . . . , 0). Это решение называется тривиальным. Важен вопрос,
в каких случаях система имеет нетривиальные решения.
Теорема 2. Система (4.6) имеет нетривиальные решения тогда и
только тогда, когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных.
Действительно, только в этом случае система имеет свободные
неизвестные, которым можно придать любые, в частности, ненуле-
вые значения.
Теорема 3. Система (4.6) в случае n = m имеет нетривиальные
решения тогда и только тогда, когда определитель её матрицы равен
нулю.
Теорема 3 является следствием теоремы 2 и теоремы о базисном
миноре.
Теорема 4. Любая линейная комбинация решений однородной си-
стемы линейных уравнений является решением этой системы.

Страницы