ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4.5. Системы линейных однородных уравнений 47
(4.7) с коэффициентами α
r+1
, α
r+2
, . . . , α
n
. Таким образом, в под-
пространстве L имеется совокупность (n − r) линейно независимых
решений, а любые (n − r + 1) решений линейно зависимы. Следо-
вательно, это подпространство имеет размерность (n − r). Теорема
доказана.
Базис подпространства L, состоящий из (n − r) решений, назы-
вается фундаментальной системой решений системы однородных
линейных уравнений. Любое другое решение можно представить в
виде линейной комбинации решений, составляющих фундаменталь-
ную систему.
Решения (4.7) образуют фундаментальную систему. Эту систему
иногда называют канонической. Можно получить фундаментальные
системы и других видов.
Чтобы отыскать фундаментальную систему решений, достаточ-
но найти общее решение системы и из него получить любые (n − r)
линейно независимых решений, для чего можно взять любой опре-
делитель порядка (n − r), не равный нулю, и в качестве свободных
неизвестных принять поочерёдно значения элементов каждой его
строки. Полученные частные решения составят фундаментальную
систему решений.
Пример 5. Докажите, что система
x
1
+ 3x
2
− x
3
+ 5x
4
= 0,
2x
1
+ x
2
− x
3
+ 3x
4
= 0,
17x
1
− 4x
2
− 6x
3
+ 8x
4
= 0,
3x
1
+ 4x
2
− 2x
3
+ 8x
4
= 0
имеет нетривиальные решения. Найдите общее решение и какую-
нибудь фундаментальную систему решений.
Будем решать задачу методом Гаусса. Записываем матрицу си-
стемы и, действуя только со строками, получаем нули ниже главной
диагонали:
A =
1 3 −1 5
2 1 −1 3
17 −4 −6 8
3 4 −2 8
→
1 3 −1 5
0 −5 1 −7
0 −55 11 −77
0 −5 1 −7
→
→
1 3 −1 5
0 −5 1 −7
.
Отсюда следует, что ранг матрицы A равен двум и что последние
два уравнения можно вычеркнуть из системы. Примем неизвестные
x
1
и x
2
в качестве зависимых, а x
3
и x
4
— в качестве свободных.
Получаем систему, эквивалентную данной:
x
1
+ 3x
2
= x
3
− 5x
4
,
5x
2
= x
3
− 7x
4
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
