Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

48 4. Системы линейных уравнений
Находим общее решение:
x
1
=
2
5
x
3
−
4
5
x
4
,
x
2
=
1
5
x
3
−
7
5
x
4
.
Теперь найдём фундаментальную систему решений, положив x
3
= 5,
x
4
= 0, а затем x
3
= 0, x
4
= 5:
( 2, 1, 5, 0),
(−4, −7, 0, 5).
Пусть дана система a
k
i
x
i
= b
k
(k =
1, m, i = 1, n) неоднород-
ных уравнений и соответствующая система однородных уравнений
a
k
i
x
i
= 0, которые запишем в матричной форме в виде AX = B и
AX = 0. Между решениями этих систем имеется тесная связь, вы-
ражаемая следующими теоремами.
Теорема 6. Разность любых двух решений системы AX = B яв-
ляется решением системы AX = 0.
Доказательство. Пусть X
1
= (x
1
1
, x
2
1
, . . . , x
n
1
)
T
и
X
2
= (x
1
2
, x
2
2
, . . . , x
n
2
)
T
— некоторые решения системы AX = B, т.е.
AX
1
= B и AX
2
= B. После вычитания получаем A(X
1
− X
2
) = 0,
т.е. X
1
− X
2
есть решение системы AX = 0.
Теорема 7. Сумма любого реш ения X
1
системы AX = 0 и любого
решения X
2
системы AX = B является решением системы AX = B.
Доказательство. Так как по условию теоремы AX
1
= 0,
AX
2
= B, то A(X
1
+ X
2
) = B, т.е. X
1
+ X
2
является решением си-
стемы AX = B.

Страницы