Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

50 5. Алгебра геометрических векторов
Отложить вектор a от точки A означает построить вектор AB,
равный a. На множестве всех векторов определим две операции:
внутреннюю — сложение векторов, и внешнюю — умножение век-
тора на число.
Пусть даны векторы a
1
, a
2
, . . . , a
n
(рис. 5.2). От произвольной
точки O отложим вектор OA
1
,
-
*
O
A
1
A
2
a
2
a
1
a
1
+ a
2
a
1
+ a
2
+ a
3
A
3
a
3
?
:
Рис. 5.2.
равный a
1
, от точки A
1
от-
ложим вектор A
1
A
2
, равный
a
2
и т.д., от точки A
n−1
отло-
жим вектор A
n−1
A
n
, равный
a
n
. Вектор OA
n
называется
суммой векторов a
1
, a
2
, . . . , a
n
и
обозначается a
1
+ a
2
+ . . . + a
n
.
Произведением вектора a на
число α называется вектор b,
обозначаемый αa и определяемый условиями: а) αa ↑↑ a, если α > 0;
б) αa ↑↓ a, если α < 0; в) |αa| = |α||a|; г) 0 · a = 0.
Из определения операции умножения вектора на число следует,
что если a = λb, то a k b. Верно и обратное утверждение, т.е. если
a k b, то существует число λ такое, что a = λb. Действительно, если
векторы a и b оба нулевые, то 0 = λ0 при любом значении λ. Если
же b 6= 0, то условие a = λb выполняется при λ =
|a|
|b|
, если a ↑↑ b,
и при λ = −
|a|
|b|
, если a ↑↓ b.
Легко показать, что для любых векторов и любых чисел справед-
ливы утверждения:
1) x + y = y + x; 2) (x + y) + z = x + (y + z);
3) x + 0 = x;
4) для всякого вектора x найдётся вектор y такой, что
x + y = 0 (действительно, если x = AB, то y = BA);
5) 1 · x = x; 6) α(βx) = (αβ)x;
7) (α + β)x = αx + βx; 8) α(x + y) = αx + αy.
Таким образом, операции умножения вектора на число и сло-
жения векторов удовлетворяют всем аксиомам линейного простран-
ства, т.е. множество всех векторов является линейным прост ран-
ством. Обозначим его V
3
. Понятия линейной комбинации, линейной
зависимости и линейной независимости систем векторов определя-
ются так же, как и для линейного n-мерного пространства. Посколь-
ку исходное точечное пространство принято трёхмерным, то и ли-
нейное пространство V
3
, ему сопоставленное, также трёхмерно (это
утверждение примем без доказательства), а потому его базис состоит
из линейно независимой системы трёх векторов.

Страницы