Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5.1. Линейные операции над векторами 51
Подпространствами V
3
являются одномерные пространства V
1
и двумерные — V
2
. Подпространство V
1
можно определить как
множество всех векторов, параллельных некоторой фиксированной
прямой, а V
2
— как множество векторов, параллельных некоторой
фиксированной плоскости. Систему трёх и более векторов, парал-
лельных одной плоскости, называют компланарной, если же такой
плоскости не существует, то система векторов называется некомпла-
нарной.
В качестве базиса в V
1
можно принять любой его ненулевой век-
тор, а в V
2
— любую пару непараллельных векторов этого подпро-
странства.
Определение понятия координат вектора, доказательство их су-
ществования и единственности в V
3
(V
1
, V
2
) производятся так же,
как и в линейных n-мерных пространствах. Напомним, что коорди-
натами вектора называются коэффициен ты линейной комбинации, с
помощью которой данный вектор выражается через базисные. При
сложении векторов их координаты относительно одного и того же
базиса складываются, а при умножении на число — умножаются на
это число. Понятию линейной зависимости векторов в V
3
можно дать
геометрическую характеристику, приведённую в теоремах 1 и 2.
Теорема 1. Система из двух векторов a
1
и a
2
линейно зависима
тогда и только тогда, когда векторы a
1
и a
2
коллинеарны.
Доказательство. Пусть система a
1
, a
2
линейно зависима, т.е.
имеет место λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
= 0, причём среди чисел λ
1
, λ
2
есть не нуле-
вые, например, λ
1
6= 0, тогда a
1
= −
λ
2
λ
1
a
2
. Из определения операции
умножения вектора на число следует, что a
1
ka
2
.
Пусть a
1
ka
2
. Если векторы a
1
и a
2
оба нулевые, то такая система,
очевидно, лин ейно зависима. Если же a
1
6= 0, то a
2
= λa
1
, что пока-
зано ранее при определении операции умножения вектора на число.
Теорема 2. Система из трёх векторов a
1
, a
2
, a
3
линейно зависима
тогда и только тогда, когда она компланарна.
Доказательство. Пусть система a
1
, a
2
, a
3
линейно зависима,
причём среди векторов a
1
, a
2
, a
3
нет коллинеарных. Поскольку один
из этих векторов является линейной комбинацией двух других (по
теореме 1 из п.1.3.2), то он параллелен плоскости, определяемой ими,
т.е. система a
1
, a
2
, a
3
компланарна. Если же среди векторов a
1
, a
2
,
a
3
есть коллинеарные, то эта система, очевидно, компланарна.
Обратно, если система a
1
, a
2
, a
3
компланарна, то она принад-
лежит некоторому двумерному подпространству, а потому линейно
зависима (3 > 2).
Аналогично тому, как это сделано в аффинном и точечно-

Страницы