Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5.2. Деление отрезка в данном отношении 53
5.2. Деление отрезка в данном отношении
Пусть даны отрезок AB и точка M, лежащая на прямой AB.
Говорят, что точка M делит отрезок AB в отношении λ (λ 6= −1),
если AM = λMB.
Если λ > 0, то точка M лежит внутри отрезка AB, если же λ < 0,
то точка M лежит вне AB.
Выберем некоторую систему координат и пусть относитель-
но этой системы даны координаты точек A и B: A(x
1
, y
1
, z
1
),
B(x
2
, y
2
, z
2
). Найдём координаты (x
0
, y
0
, z
0
) точки M, делящей от-
резок AB в отношении λ(λ 6= −1). Так как AM = λMB и
AM = {x
0
− x
1
, y
0
− y
1
, z
0
− z
1
}, MB = {x
2
− x
0
, y
2
− y
0
, z
2
− z
0
},
то x
0
− x
1
= λ(x
2
− x
0
), y
0
− y
1
= λ(y
2
− y
0
), z
0
− z
1
= λ(z
2
− z
0
).
Следовательно:
x
0
=
x
1
+ λx
2
1 + λ
, y
0
=
y
1
+ λy
2
1 + λ
, z
0
=
z
1
+ λz
2
1 + λ
. (5.1)
Отсюда, в частности, следует известное из средней школы положе-
ние, уже использованное нами: координаты середины отрезка равны
полусуммам соответствующих координат его концов (в этом случае
λ = 1).
Пример 3. Дан треугольник ABC координатами своих вершин
A(1, −3, −2), B(3, 5, 7), C(−1, 5, −3). Найдите координаты (x
0
, y
0
, z
0
)
точки D п ересече ния его медиан.
Решение. Как известно, точка D делит медиану AM в отношении
λ = 2. Так как точка M имеет координаты (1, 5, 2), то по формулам
(5.1) находим
x
0
=
1 + 2 · 1
1 + 2
= 1, y
0
=
−3 + 2 · 5
1 + 2
=
7
3
, z
0
=
−2 + 2 · 2
1 + 2
=
2
3
.
5.3. Проекция вектора на ось
Прямая с заданными на ней точкой и единичным базисным век-
тором e называется осью.
Ортогональной проекцией точки A на ось называется точка пе-
ресечения оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей
через точку A.
Проекцией вектора AB на ось l называется координата вектора
A
0
B
0
относительно единичного вектора e оси, где A
0
и B
0
— проекции
точек A и B на ось l, т.е. если A
0
B
0
= αe, то число α называется
проекцией вектора AB на ось l. Обозначают α = Пр
e
AB.

Страницы