Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

54 5. Алгебра геометрических векторов
Из правила сложения и умножения на число векторов, заданных
своими координатами, следует, что Пр
e
(αa + βb) = αПр
e
a + βПр
e
b,
где α и β — любые числа.
Легко показать, что Пр
e
a = |a|cos ϕ, где ϕ — угол между векто-
рами e и a, отсчитанный по правилам тригонометрии: от вектора e
против часовой стрелки до вектора a.
5.4. Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов a
и b называется число, обозначаемое (a, b), равное произведению их
модулей на косинус угла между ними, т.е. (a, b) = |a||b|cos ϕ.
Если хотя бы один из векторов a или b нулевой, то скалярное
произведение полагается равным нулю.
Из определения скалярного произведения следует, что скалярное
произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда,
когда векторы ортогональны.
Легко доказать следующие свойства скалярного произведения:
1. (a, b) = (b, a);
2. (a, b + c) = (a, b) + (a, c);
3. (λa, b) = λ(a, b);
4. (a, a) = |a|
2
> 0 при a 6= 0 и (0, 0) = 0.
Таким образом, скалярное произведение, введенное в этом под-
разделе, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения,
рассмотренного в п. 3.7.
Скалярное произведение двух векторов, заданных декартовыми
координатами, равно сумме произведений одноимённых декартовых
координат. Действительно:
(x
1
i + y
1
j + z
1
k, x
2
i + y
2
j + z
2
k) = x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
,
так как (i, j) = (i, k) = (j, k) = 0, (i, i) = (j, j) = (k, k) = 1.
С помощью скалярного произведения можно находить:
1) длину вектора a = xi + yj + zk:
p
(a, a) = |a| =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
;
2) расстояние d между точками A(x
1
, y
1
, z
1
) и B(x
2
, y
2
, z
2
):
d = |AB| =
p
(x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
+ (z
2
− z
1
)
2
(сравните с (3.12));
3) проекцию одного вектора на направление другого:
Пр
a
b =
(a, b)
|a|
;
4) косинус угла м ежду векторами: cos(aˆ,b) =
(a, b)
|a||b|
;

Страницы