ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
56 5. Алгебра геометрических векторов
(от правой к правой либо от левой к левой), то c = [a,b] не изменит-
ся. При изменении ориентации системы координат вектор c = [a,b]
изменит лишь направление на противоположное. В дальнейшем мы
будем использовать правую систему координат, а потому тройку век-
торов a,b,c будем считать образующей правую связку.
Если векторы либо коллинеарны, либо хотя бы один из них ну-
левой, то полагаем [a,b] = 0.
Отметим свойства векторного произведения.
1. Модуль векторного произведения равен площади параллело-
грамма, построенного на перемножаемых векторах, как на сторонах
(следует из элементарной геометрии).
2. Векторное произведение двух ненулевых векторов равно ну-
левому вектору тогда и только тогда, когда эти векторы коллине-
арны. Действительно, из a 6= 0, b 6= 0, |a||b|sin(aˆ,b) = 0 следует
sin(aˆ,b) = 0.
3. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. [a,b] = −[b,a].
Действительно, как следует из определения векторного произве-
дения, векторы [a,b] и [b,a] будут иметь одинаковые длины и проти-
воположные направления.
4. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного про-
изведения, т.е. [λa,b] = λ[a,b].
Действительно, при λ = 0 и при akb равенство очевидно.
При λ > 0, λa ↑↑ a, а потому [λa,b] ↑↑ [a,b] и [λa,b] ↑↑ λ[a,b],
|[λa,b]| = |λa||b|sin(λaˆ,b) = λ|a||b|sin(aˆ,b) = λ |[ab]|,
откуда и следует утверждение.
При λ < 0, λa ↑↓ a, поэтому [λa,b] ↑↓ [a,b]. Тогда
[λa,b] ↑↑ λ[a,b], |[λa,b]| = |λa||b|sin(λaˆ,b) =
= |λ||a||b|sin{π − (aˆ,b)} = |λ||a||b|sin(aˆ,b) = |λ||[a,b]| = |λ[a,b]|.
5. Имеет место распределительный закон операции векторно-
го произведения относительно операции сложения векторов, т.е.
[a + b,c] = [a,c] + [b,c]. Это свойство примем без доказательства.
Получим выражение векторного произведения через декартовы
координаты перемножаемых векторов.
Пусть (i, j, k) — декартов базис, т.е. |i| = |j| = |k| = 1, (i,j) = 0,
(i,k) = 0, (j,k) = 0. Если базис п равый, то [i,j] = k, [i,k] = −j, [j,k] = i,
[k,i] = j, [k,j] = −i, [j,i] = −k.
По определению [i,i] = 0, [j,j] = 0, [k,k] = 0.
Пусть a = x
1
i + y
1
j + z
1
k, b = x
2
i + y
2
j + z
2
k.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
