Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

58 5. Алгебра геометрических векторов
Тогда [a, b] = (y
1
z
2
− y
2
z
1
)i + (x
2
z
1
− x
1
z
2
)j + (x
1
y
2
− x
2
y
1
)k;
([a, b], c) = (y
1
z
2
− y
2
z
1
)x
3
− (x
1
z
2
− x
2
z
1
)y
3
+ (x
1
y
2
− x
2
y
1
)z
3
=
=
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
x
3
y
3
z
3
.
Таким образом, смешанное произведение равно определителю
третьего порядка, в первой строке которого записаны координаты
первого вектора, во второй — второго, в третьей — третьего векто-
ра.
Из свойств определителя вытекает, что при циклической пере-
становке сомножителей смешанное произведение не изменяется, т.е.
(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a). При перестановке двух сомножителей
смешанное произведение меняет знак на обратный.
Смешанное произведение можно применять при вычислении объ-
ёмов параллелепипеда, пирамиды, длин их высот. Например, объём
пирамиды ABCD: V =
1
6
|(AB, AC, AD)|.
Замечание. И мея векторы a, b, c, можно рассматривать (a, b) · c
как произведение вектора c на скаляр (a, b), а также двойное век-
торное произведение [[a, b], c].
Пример 6. Найдите площадь параллелограмма, построенного на
векторах a = 2p + r и b = p + 3r, где |p| = 2, |r| =
√
2 и ϕ = (pˆ,r) =
= 45
◦
.
Решение.
S = |[a, b]| = |[2p + r, p + 3r]| = |2[p, p] + [r, p] + 6[p, r] + 3[r, r]| =
= 5|[p, r]| = 5|p||r|sin ϕ,
так как [p, p] = [r, r] = 0, а [r, p] = −[p, r].
Таким образом, S = 5 · 2 ·
√
2 ·
√
2
2
= 10.
Пример 7. Дано: A(0; −3; −2); B(0; −2; −3); C(−2; −5; −1);
D(−2; 1; 2). Найдите:
а) площадь S параллелограмма, построенного на векторах
1
3
DA,
1
2
DC;
б) объём V пирамиды, построенной на векторах AB + DB,
DA и DC.
в) длину высоты AH пирамиды ABCD.

Страницы