Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6. Функции в линейных пространствах
В этом подразделе будут изучены наиболее важные частные клас-
сы функций — классы линейных и билинейных отображений одного
линейного пространства в другое, а также во множество веществен-
ных чисел .
6.1. Функции, отображения
Пусть даны два линейных пространства R и R
0
и некоторые мно-
жества E ⊂ R и F ⊂ R
0
.
Соответствие, которое каждому вектору x из E сопоставляет
некоторый вектор y из F , называется отображением E в F .
Если E совпадает с R, а F с R
0
, то имеем отображение R в R
0
.
Отображен ие называют также функцией, или оператором, обозна-
чают обычно буквой f и записывают y = f(x) или f : E → F , или
E
f
−→ F . Говорят, что f есть функция переменного x со значениями
в F . При этом элемент f(x) = y называют образом элемента x при
отображении f , а x — прообразом элемента y.
Пусть R = R
n
, R
0
= R
m
. Если в пространстве R
n
и R
m
фикси-
ровать базисы, то отображение f : R
n
→ R
m
определит выражения
координат y
1
, y
2
, . . . , y
m
вектора y через координаты x
1
, x
2
, . . . , x
n
вектора x:
y
1
= f
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
),
y
2
= f
2
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
),
························
y
m
= f
m
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
).
(6.1)
Таким образом, задание отображения R
n
в R
m
при фиксированных
базисах равносильно заданию m числовых функций n числовых ар-
гументов.
Произвольные отображения изучаются в математическом ана-
лизе. В данном разделе будем изучать лишь линейные отображе-
ния конечномерных пространств, тот случай, когда все функции
в (6.1) линейны, т.е. имеют вид y
i
= a
i
1
x
1
+ a
i
2
x
2
+ . . . + a
i
n
x
n
, где
i = 1, 2, . . . , m, а коэффициенты a
i
k
(k = 1, 2, . . . , n) являются некото-
рыми константами.
6.2. Линейные операторы
Определение. Пусть имеются два (не обязательно различных) ли-
нейных пространства R и R
0
. Линейным отображением пространства
R в R
0
или линейным оператором, действующим из R в R
0
, называ-
ется отображение A пространства R в R
0
, обладающее следующим
свойством:
A(αx + βy) = αAx + βAy

Страницы