Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6.3. Матрица линейного оператора 61
для любых векторов x и y из R и любых действительных чисел α
и β.
Это соотношение эквивалентно двум: A(x + y) = Ax + Ay,
A(αx) = αAx, получающимся из данного при α = β = 1 и при β = 0.
Иногда в записи A(x) будем скобки опускать и писать Ax.
Примеры.
1. Оператор, который каждому вектору из R сопоставляет нуль-
вектор из R
0
, называется нулевым. Этот оператор, очевидно, линеен.
2. Пусть оператор Π действует из арифметического линейного
пространства R
3
в пространство R
2
по закону Π(ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) = (ξ
1
, ξ
2
).
Этот оператор называется оператором проектирования. Покажем,
что он линеен. Если x = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) и y = (η
1
, η
2
, η
3
) — два произ-
вольных вектора из R
3
, то αx+βy = (αξ
1
+βη
1
, αξ
2
+βη
2
, αξ
3
+βη
3
),
где α и β — любые числа. Находим Πx = (ξ
1
, ξ
2
), Πy = (η
1
, η
2
),
Π(αx + βy) = (αξ
1
+ βη
1
, αξ
2
+ βη
2
) = αΠx + βΠy, т.е. оператор Π
линеен.
Теорема 1. Пусть R
n
— n-мерное линейное пространство и
e
1
, e
2
, . . . , e
n
— его базис. Какая бы ни была совокупность векто-
ров f
1
, f
2
, . . . , f
n
из R
0
, существует единственный линейн ый оператор
A : R
n
→ R
0
, удовлетворяющий условию Ae
i
= f
i
(i =
1, n).
Доказательство. Предположим, что линейный оператор A су-
ществует. Тогда для любого x = ξ
i
e
i
из R
n
выполняется условие
Ax = A(ξ
i
e
i
) = ξ
i
Ae
i
= ξ
i
f
i
, откуда следует единственность опера-
тора A. С другой стороны, для любого x = ξ
i
e
i
положим по опре-
делению Ax = ξ
i
f
i
, а потому и Ae
i
= f
i
. Докажем, что таким обра-
зом построенный оператор A линеен. Действительно, если x = ξ
i
e
i
и y = η
i
e
i
— два произвольных вектора из R
n
, а α и β — произволь-
ные числа, то Ax = ξ
i
f
i
, Ay = η
i
f
i
, A(αx + βy) = A[(αξ
i
+ βη
i
)e
i
] =
= (αξ
i
+ βη
i
)f
i
= αξ
i
f
i
+ βη
i
f
i
= αAx + βAy.
Теорема доказана.
6.3. Матрица линейного оператора
Пусть A — линейный оператор, действующий из R
n
в
R
m
, и {e
i
} = (e
1
, e
2
, . . . , e
n
) — произвольный базис R
n
, а
{f
j
} = (f
1
, f
2
, . . . , f
m
) — базис пространства R
m
. Подействуем
оператором A на каждый из базисных векторов e
1
, e
2
, . . . , e
n
. В
результате получим n векторов Ae
1
, Ae
2
, . . . , Ae
n
пространства R
m
,
которые можно разложить по векторам базиса f
j
и записать
Ae
i
= a
j
i
f
j
(i =
1, n, j = 1, m) (6.2)

Страницы