ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
62 6. Функции в линейных пространствах
или в подробной записи
Ae
1
= a
1
1
f
1
+ a
2
1
f
2
+ . . . + a
m
1
f
m
,
Ae
2
= a
1
2
f
1
+ a
2
2
f
2
+ . . . + a
m
2
f
m
,
·································
Ae
n
= a
1
n
f
1
+ a
2
n
f
2
+ . . . + a
m
n
f
m
.
Числа a
j
i
определяют матрицу
A
(e
i
,f
j
)
=
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
··· ··· ··· ···
a
m
1
a
m
2
. . . a
m
n
размера (m × n), называемую матрицей оператора A в базисах {e
i
}
и {f
j
}. Заметим, что в s-м столбце матрицы A записаны координаты
вектора Ae
s
относительно базиса {f
j
}.
Из теоремы 1 следует, что линейный оператор полностью опре-
деляется заданием его матрицы относительно данных базисов, так
как она указывает образы базисных векторов. Это значит, что, зная
матрицу A, можно найти результат действия линейного оператора
на любой вектор. П окажем, как это сделать.
Пусть x = ξ
i
e
i
, y = Ax = η
j
f
j
. Требуется выразить координаты
η
j
вектора Ax через числа ξ
i
и a
j
i
. Находим, используя формул ы
(6.2), η
j
f
j
= Ax = A(ξ
i
e
i
) = ξ
i
Ae
i
= ξ
i
a
j
i
f
j
. Отсюда следует, что
η
j
= a
j
i
ξ
i
(i =
1, n, j = 1, m), (6.3)
или в матричной форме записи
η
1
η
2
.
.
.
η
m
= A ·
ξ
1
ξ
2
.
.
.
ξ
n
. (6.4)
Таким образом, s-я координата вектора Ax есть линейная комби-
нация координат вектора x. Коэффициенты этой линейной комби-
нации образуют s-ю строку матрицы A оператора.
Итак, после выбора базисов {e
i
} и {f
j
} пространств R
n
и R
m
каждому линейному оператору сопоставляется единственная матри-
ца [a
j
i
]. Если задана произвольная матрица [a
j
i
] размера (m × n), то
её можно считать матрицей линейного оператора A : R
n
→ R
m
, по-
лагая координатами векторов Ae
i
столбцы этой матрицы. Таким об-
разом, между всеми матрицами размера (m × n) и всеми линейными
операторами, действующими из R
n
в R
m
с фиксированными базиса-
ми, устанавливается взаимно-однозначное соответствие.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
