Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

64 6. Функции в линейных пространствах
Действительно, b
m
j
c
i
m
— это элемент матрицы CB, стоящий в i-й
строке, j-м столбце, а c
m
j
a
i
m
— это элемент матрицы AC, стоящий
в i-й строке, j-м столбце. Размеры матрицы CB и AC одинаковы.
Отсюда B = C
−1
AC. Мы получили закон изменения матрицы ли-
нейного оператора A : R
n
→ R
n
при переходе от одного базиса к
другому.
Теорема 2. Определитель матрицы линейного оператора
A : R
n
→ R
n
не изменяется при изменении базиса.
Доказательство. По свойству 9 определителя (см. п. 2.5) имеем
|B| = |C
−1
||A||C|, но |C
−1
||C| = 1, поэтому |B| = |A|.
Теорема 3. Ранг матрицы линейного оператора A : R
n
→ R
n
не
изменяется при изменении базиса.
Теорему примем без доказательства.
6.4. Действия над линейными операторами
Пусть даны два линейных оператора A и B, отображающих про-
странство R
n
с базисом {e
i
} = (e
1
, e
2
, . . . , e
n
) в линейное простран-
ство R
m
с базисом {f
j
} = (f
1
, f
2
, . . . , f
m
). Матрицы этих операторов
в выбранных базисах обозначим A = [a
j
i
], B = [b
j
i
].
1. Равенство линейных операторов. Два линейных оператора A
и B, действующих из R
n
в R
m
, называют равными (пишут A = B),
если для любого вектора x ∈ R
n
выполняется условие Ax = Bx. Оче-
видно, что равные операторы имеют одинаковые матрицы в одних и
тех же базисах.
2. Сложение линейных операторов. Суммой линейных операто-
ров A и B называется оператор C, обозначаемый A + B, определяе-
мый равенством Cx = (A + B)x = Ax + Bx. Покажем, что оператор
C : R
n
→ R
m
линейный. Пусть x
1
и x
2
— два произвольных вектора
из R
n
и α, β — произвольные числа. Тогда
C(αx
1
+ βx
2
) = A(αx
1
+ βx
2
) + B(αx
1
+ βx
2
) =
= αAx
1
+ βAx
2
+ αBx
1
+ βBx
2
=
= α(Ax
1
+ Bx
1
) + β(Ax
2
+ Bx
2
) = αCx
1
+ βCx
2
,
т.е. оператор C — линейный.
Найдём матрицу C = [c
j
i
] оператора C в базисах {e
i
}, {f
j
}. На-
ходим Ce
i
= c
j
i
f
j
= (A + B)e
i
= Ae
i
+ Be
i
= a
j
i
f
j
+ b
j
i
f
j
= (a
j
i
+ b
j
i
)f
j
.
Отсюда c
j
i
= a
j
i
+ b
j
i
, i =
1, n, j = 1, m, т.е. C = A + B.
Как видим, при сложении линейных операторов их матрицы от-
носительно одних и тех же базисов складываются.
3. Умножение оператора на число. Произведением линейного
оператора A на число λ называется оператор B (обозначается B =
= λA), определяемый условием Bx = (λA)x = λAx. Предлагается

Страницы