Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6.3. Матрица линейного оператора 63
Например, нулевой оператор в любых базисах имеет нулевую
матрицу.
Рассмотрим оператор Π : R
3
→ R
2
проектирования, где R
3
и
R
2
— арифметические линейные пространства. Зафиксируем базисы
e
1
= (1, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1) в R
3
и f
1
= (1, 0), f
2
= (0, 1) в
R
2
. Тогда Πe
1
= (1, 0), Πe
2
= (0, 1), Πe
3
= (0, 0). Матрица оператора
Π в этих базисах имеет вид
1 0 0
0 1 0
.
Матрица линейного оператора, действующего из R
n
в R
1
, будет
состоять из одной строки, а действующего из R
1
в R
n
— из одного
столбца.
Часто рассматриваются операторы A : R
n
→ R
n
. В этом случае
достаточно выбрать базис {e
i
}, а базис {f
j
} считать совпавшим с
{e
i
}. Формулы (6.2) принимают вид
Ae
i
= a
j
i
e
j
,
причём матрица [a
j
i
] — квадратная порядка n. Соотношения (6.3),
(6.4) сохраняются и при условии m = n.
Пример. Является ли линейным отображение
Ax = (2x
2
, x
1
+ x
3
, −x
3
)? Если да, то записать матрицу отображе-
ния.
Решение. Проверим условия линейности. x = (x
1
, x
2
, x
3
),
y = (y
1
, y
2
, y
3
). Тогда x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, x
3
+ y
3
).
A(x + y) = (2x
2
+ 2y
2
, x
1
+ y
1
+ x
3
+ y
3
, −x
3
− y
3
) =
= (2x
2
, x
1
+ x
3
, −x
3
) + (2y
2
, y
1
+ y
3
, −y
3
) = Ax + Ay и
A(αx) = (2αx
1
, αx
1
+ αx
3
, −αx
3
) = α(2x
1
, x
1
+ x
3
, −x
3
) =
= αAx.
Отображение является линейным. Найдём его матрицу в базисе
e
1
, e
2
, e
3
. Ae
1
= (0, 1, 0), Ae
2
= (2, 0, 0), Ae
3
= (0, 1, −1).
Тогда A =
"
0 2 0
1 0 1
0 0 −1
#
.
Мы видели, что матрица линейного оператора зависит от выбо-
ра базиса. Найдём закон изменения матрицы линейного оператора
A : R
n
→ R
n
при переходе от одного базиса к другому.
Обозначим матрицу оператора A в базисе {e
i
} через A = [a
k
i
], а
в базисе {f
j
} — через B = [b
k
j
]. По формулам f
j
= c
m
j
e
m
(см. 1.24)
перейдём от базиса e
i
к базису f
j
. Тогда Af
j
= b
m
j
f
m
= b
m
j
c
i
m
e
i
=
= A(c
m
j
e
m
) = c
m
j
a
i
m
e
i
. Из подчёркнутого следует, что b
m
j
c
i
m
= c
m
j
a
i
m
.
Если обозначим C = [c
j
i
], то в матричной форме это соотношение
можем записать в виде CB = AC.

Страницы