Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6.4. Действия над линейными операторами 65
самостоятельно доказать линейность оператора B и что матрица опе-
ратора B равна произведению матрицы оператора A на число λ.
4. Композиция линейных операторов. Пусть A — линейный опе-
ратор, действующий из пространства R
n
в R
m
, а B — линейный
оператор, действующий из R
m
в R
s
. В результате возникает отобра-
жение C, обозначаемое C = B ◦A, линейного пространства R
n
в R
s
,
которое можно определить формулой Cx = (B ◦ A)x = B(Ax). Опе-
ратор C называется композицией, или суперпозицией, операторов A
и B. Покажем, что оператор C линеен. Находим
C(αx
1
+ βx
2
) = B[A(αx
1
+ βx
2
)] = B[αAx
1
+ βAx
2
] =
= αB(Ax
1
) + βB(Ax
2
) = αCx
1
+ βCx
2
,
т.е. оператор C линеен.
Пусть {e
i
} = (e
1
, e
2
, . . . , e
n
) — базис R
n
, {f
k
} = (f
1
, f
2
, . . . , f
m
) —
базис R
m
, {g
r
} = (g
1
, g
2
, . . . , g
s
) — базис R
s
. Найдём матрицу
C = [c
r
i
] линейного оператора C : R
n
→ R
s
в базисах {e
i
} и {g
r
}.
Используя определение матрицы линейного оператора (см.
формулы (6.2)), находим Ce
i
= c
r
i
g
r
= B(Ae
i
) = B(a
k
i
f
k
) = a
k
i
Bf
k
=
= a
k
i
b
r
k
g
r
. Сравнивая подчёркнутые выражения, получаем
c
r
i
= a
k
i
b
r
k
, i = 1, n, k = 1, m, r = 1, s. (6.5)
Из соотношений (6.5) и определения произведения матриц (см. п. 1.5)
следует, что C = B ·A, т.е. матрица C композиции линейных опера-
торов A и B является произведением матриц этих операторов.
Рассмотренные действия над линейными операторами обладают
теми же свойствами, что и аналогичные операции над матрицами
(см. соотношения (1.3)).
Докажем, например, что A ◦ (B + C) = A ◦ B + A ◦ C, где
A, B, C — линейные операторы, B и C : R
n
→ R
m
, A : R
m
→ R
s
.
Находим
[A ◦ (B + C)]x = A[(B + C)x] = A[Bx + Cx] =
= A(Bx) + A(Cx) = A ◦ Bx + A ◦ Cx = (A ◦ B + A ◦ C)x,
т.е. A ◦ (B + C) = A ◦ B + A ◦ C. Если A, B, C — матрицы опера-
торов A, B, C, то A(B + C) = AB + AC, что следует из того, что
матрица суммы операторов равна сумме их матриц, а матрица ком-
позиции операторов равна произведению их матриц. Предлагается
таким же образом доказать и все остальные равенства в соотноше-
ниях (1.3).
5. Обратный оператор. Если линейный оператор A с невырож-
денной матрицей действует из R
n
в R
n
, то для него можно опреде-
лить обратный оператор B условием B ◦A = E, где Ex = x для всех
x. Матрицы взаимно обратных операторов взаимно обратны, так как
их произведение даёт единичную матрицу.

Страницы