Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6.5. Собственные векторы и собственные числа 67
Среди корней характеристического уравнения P (λ) = 0 могут
быть и кратные. Напомним определение этого понятия, известного
из средней школы.
Корень λ
i
характеристического уравнения P (λ) = 0 называется
m-кратным, если имеет место P (λ) = (λ − λ
i
)
m
Q(λ), где Q(λ) —
многочлен степени (n − m) относительно λ, причём Q(λ
i
) 6= 0.
Если x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
T
, то в координатной форме систему (6.7)
можно записать в виде
(a
1
1
− λ)x
1
+ a
1
2
x
2
+ . . . + a
1
n
x
n
= 0,
a
2
1
x
1
+ (a
2
2
− λ)x
2
+ . . . + a
2
n
x
n
= 0,
····································
a
n
1
x
1
+ a
n
2
x
2
+ . . . + (a
n
n
− λ)x
n
= 0.
Отметим некоторые свойства собственных векторов.
Теорема 4. Любая линейная комбинация собственных векторов,
отвечающих одному и тому же собственному числу, является также
собственным вектором с тем же собственным числом.
Доказательство. Если Ax
1
= λx
1
, Ax
2
= λx
2
, . . . , Ax
m
= λx
m
,
то при любых α
i
имеет место
A(α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ ··· + α
m
x
m
) = α
1
Ax
1
+ α
2
Ax
2
+ ··· + α
m
Ax
m
=
= α
1
λx
1
+ α
2
λx
2
+ ··· + α
m
λx
m
= λ(α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ ··· + α
m
x
m
).
Следствие. Все собственные векторы, отвечающие одному и тому
же собственному числу, вместе с нулевым вектором образуют линей-
ное подпространство.
Это подпространство является линейной оболочкой собственных
векторов x
1
, x
2
, . . . , x
m
, отвечающих собственному числу λ.
Теорема 5. Если собственные векторы x
1
, x
2
, . . . , x
k
отвечают по-
парно различным собственным числам λ
1
, λ
2
, . . . , λ
k
, то система
векторов x
1
, x
2
, . . . , x
k
линейно независима.
Теорему примем без доказательства.
Теорема 6. Собственные числа линейного оператора A : R
n
→ R
n
не изменяются при изменении базиса.
Доказательство. Пусть A и B — матрицы одного линейного опе-
ратора в двух разных базисах с матрицей C перехода от одного бази-
са к другому. Тогда, как показано в п. 6.3, имеет место B = C
−1
AC.
Находим
|B − λE| = |C
−1
AC − λE| = |C
−1
AC − λC
−1
EC| =
= |C
−1
(A − λE)C| = |C
−1
||A − λE||C| = |A − λE|.
Таким образом, матрицы A и B имеют общее характеристическое
уравнение, а потому их собственные числа совпадают.

Страницы