Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

68 6. Функции в линейных пространствах
Пример. Докажите, что вектор x = (1, 2, 1)
T
является собствен-
ным для матрицы A =
"
1 −3 4
4 −7 8
6 −7 7
#
, и найдите соответствующее
ему собственное число. Найдите другие собственные числа и отвеча-
ющие им собственные векторы.
Решение. Имеем
Ax=
"
1 −3 4
4 −7 8
6 −7 7
#
·
"
1
2
1
#
=
"
1 − 6 + 4
4 − 14 + 8
6 − 14 + 7
#
=
"
−1
−2
−1
#
=(−1)
"
1
2
1
#
.
Отсюда следует, что вектор x = (1, 2, 1)
T
собственный и отвечает
собственному числу λ = −1.
Составляем характеристическое уравнение
1 − λ −3 4
4 −7 − λ 8
6 −7 7 − λ
= 0.
Вычисляя этот определитель, получим (λ + 1)
2
(λ − 3) = 0, λ
1
= −1,
λ
2
= 3.
Запишем систему для определения собственного вектора, отвеча-
ющего собственному числу λ = 3:
(
− 2x
1
− 3x
2
+ 4x
3
= 0,
4x
1
− 10x
2
+ 8x
3
= 0,
6x
1
− 7x
2
+ 4x
3
= 0.
Третье уравнение равно разности второго и первого, поэтому его
можно вычеркнуть из системы. Мы получили систему
− 2x
1
− 3x
2
+ 4x
3
= 0,
2x
1
− 5x
2
+ 4x
3
= 0.
В качестве свободного неизвестного можно выбрать x
3
и выразить
через него неизвестные x
1
и x
2
. Получим
x
1
=
1
2
x
3
, x
2
= x
3
.
Полагая x
3
= 2, найдём собственный вектор (1, 2, 2). Проверка:
"
1 −3 4
4 −7 8
6 −7 7
#"
1
2
2
#
=
"
1 − 6 + 8
4 − 14 + 16
6 − 14 + 14
#
=
"
3
6
6
#
= 3
"
1
2
2
#
,
следовательно, вектор x = (1, 2, 2)
T
собственный и отвечает соб-
ственному числу λ = 3. Собственными векторами, отвечающими
числу λ = 3, будут и векторы (1, 2, 2)
T
t, где t 6= 0. Если x — соб-
ственный вектор, то tx при t 6= 0 — тоже собственный.

Страницы