ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
66 6. Функции в линейных пространствах
Множество всех линейных операторов A : R
n
→ R
m
образует
линейное пространство, если в качестве внешней операции принять
умножение оператора на число, а в качестве внутренней — сложение
операторов. Предлагается доказать, что его размерность равна n ·m.
6.5. Собственные векторы и собственные числа
линейного оператора
Пусть A : R
n
→ R
n
— линейный оператор и A — его матрица
относительно базиса e
i
.
Собственным вектором линейного оператора A (матрицы A) на-
зывается ненулевой вектор x такой, что
Ax = λx. (6.6)
Число λ называется собственным числом, отвечающим собствен-
ному вектору x.
Для единичной матрицы E любой вектор x является собствен-
ным, с собственным числом, равным 1, так как Ex = x, что следует
из формул (6.3).
Получим правило отыскания собственных чисел и собственных
векторов матрицы. Соотношение (6.6) можно переписать в виде
Ax = λEx или Ax − λEx = 0, т.е.
(A − λE)x = 0. (6.7)
Соотношение (6.7) представляет собой матричную запись однород-
ной системы n уравнений с n неизвестными, определитель которой
равен det(A − λE).
Для того чтобы система (6.7) имела нетривиальное решение,
необходимо и достаточно, чтобы
det(A − λE) = 0. (6.8)
Равенство (6.8) представляет собой уравнение относительно λ. Это
уравнение называется характеристическим.
В подробной записи уравнение (6.8) имеет вид
P (λ) =
a
1
1
− λ a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
− λ . . . a
2
n
··· ··· ··· ···
a
n
1
a
n
2
. . . a
n
n
− λ
= 0.
Решив это уравнение, найдём собственные числа λ = λ
i
матрицы.
Подставляя их поочерёдно в систему (6.7) и решая её после этого,
найдём собственные векторы, отвечающие этим собственным чис-
лам.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
