Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

70 6. Функции в линейных пространствах
6.6. Линейные формы
Отображение L линейного пространства R во множество веще-
ственных чисел называется линейной формой, или линейным функ-
ционалом, если для любых векторов x и y из R и любых чисел α и
β выполняется условие L(αx + βy) = αL(x) + βL(y).
Например, множество всех интегрируемых на (a, b) функций об-
разует линейное пространство. Линейную форму на нём можно опре-
делить соотношением
L[ϕ(t)] =
Z
b
a
ϕ(t)dt.
Пусть дано линейное пространство R
n
с выбранным в нём бази-
сом {e
1
, e
2
, . . . , e
n
} и x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ ···+ x
n
e
n
— любой вектор из
R
n
. Если L(x) — произвольная линейная форма, заданная на R
n
, то
L(x) = L(x
1
e
1
+x
2
e
2
+···+x
n
e
n
) = x
1
L(e
1
)+x
2
L(e
2
)+···+x
n
L(e
n
).
Обозначим L(e
1
) = a
1
, L(e
2
) = a
2
, . . . , L(e
n
) = a
n
. Числа a
i
не за-
висят от выбора вектора x, а зависят только от выбора базиса. Эти
числа называются коэффициентами линейной формы в базисе {e
i
}.
Теперь можем записать L(x) = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ···+ a
n
x
n
— общий вид
линейной формы.
Если перейдём к новому базису f
j
по формулам f
j
= c
k
j
e
k
и коэф-
фициенты линейной формы L в новом базисе обозначим через b
j
, то
b
j
= L(f
j
) = L(c
k
j
e
k
) = c
k
j
L(e
k
) = c
k
j
a
k
, т.е. b
j
= c
k
j
a
k
. Таким образом,
коэффициенты линейной формы преобразуются по тому же закону,
что и базисные векторы, т.е. (b
1
, b
2
, . . . , b
n
) = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
)C, где
C — матрица перехода от старого базиса к новому (см. (3.14), п 3.9).
Над линейными формами в R
n
можно ввести операции сложе-
ния и умножения на число следующим образом. Пусть относитель-
но некоторого базиса даны две линейные формы: L
1
(x) = a
i
x
i
и
L
2
(x) = b
i
x
i
. Тогда их суммой называют линейную форму L
3
(x),
определённую равенством L
3
(x) = (a
i
+ b
i
)x
i
, а произведением ли-
нейной формы L
1
(x) на число λ называют линейную форму вида
L(x) = (λa
i
)x
i
. Легко показать, что введённые операции удовлетво-
ряют всем аксиомам линей ного пространства. Следовательно, мно-
жество всех линейных форм, заданных на R
n
, образует линейное
пространство, обозначаемое R
n
. Его векторы, составленные из коэф-
фициентов соответствующих линейных форм, являются примером
векторов типа (1 × n), т.е. векторов-строк.
6.7. Билинейные и квадратичные формы
Говорят, что на линейном пространстве R
n
задана билинейная
форма B, если имеется правило, позволяющее любой паре векторов

Страницы