Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

72 6. Функции в линейных пространствах
Теорема 8. Если матрица билинейной формы невырождена в од-
ном базисе, то она невырождена и во всех остальных.
Действительно, из (6.12) получаем
|
˜
B| = |C
T
| · |B| · |C| = |B| · |C|
2
. (6.13)
Эта теорема является следствием теоремы 7.
Теорема 9. Знак определителя матрицы билинейной формы не
изменяется при изменении базиса.
Это утверждение следует из (6.13).
Билинейная форма B(x, y) называется симметричной, если
B(x, y) = B(y, x) для любых двух векторов x и y из R
n
.
Если билинейная форма B(x, y) симметрична, то относительно
любого базиса {e
i
} имеем B(e
i
, e
k
) = B(e
k
, e
i
), т.е. b
ik
= b
ki
, следо-
вательно, B = B
T
.
Функция B(x, x) одного векторного аргумента x, заданная на ли-
нейном пространстве R
n
, получающаяся из симметричной билиней-
ной формы B(x, y) при x = y, называется квадратичной формой.
Полагая в (6.10) x = y, η
j
= ξ
j
, получаем общий вид квадратичной
формы
B(x, x) = ξ
i
ξ
j
b
ij
. (6.14)
Соотношение (6.14) можно принять за новое определение квад-
ратичной формы. При n = 3 квадратичная форма в полной записи
имеет вид
B(x, x) = b
11
(ξ
1
)
2
+ b
22
(ξ
2
)
2
+ b
33
(ξ
3
)
2
+ 2b
12
ξ
1
ξ
2
+
+2b
13
ξ
1
ξ
3
+ 2b
23
ξ
2
ξ
3
.
При этом учтено, что b
ik
= b
ki
, и приведены подобные члены.
Вид квадратичной формы
B(x, x) = b
11
(ξ
1
)
2
+ b
22
(ξ
2
)
2
+ . . . + b
nn
(ξ
n
)
2
называется каноническим.
Теорема 10. Всякая квадратичная форма, заданная в R
n
, путём
перехода к новому базису может быть приведена к каноническому
виду.
Теорему примем без доказательства.
Широкое применение находят квадратичные формы, заданные
в евклидовых линейных пространствах E
n
. Квадратичную форму
в евклидовых пространствах относительно ортогонального базиса
можно определить равенством B(x, x) = (x, Bx), где B — некоторый
симметрический линейный оператор B : E
n
→ E
n
.
Возникает вопрос, можно ли квадратичную форму привести к
каноническому виду путём п ерехода к другому ортонормированному
базису. Положительный ответ содержится в теореме 11.

Страницы