ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
74 6. Функции в линейных пространствах
4. Записываем выражение новых координат η
1
, η
2
, . . . , η
n
через
старые ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
и наоборот (см. формулы 1.29).
Пример. Привести к главным осям квадратичную форму
Q(x) = 2(x
1
)
2
+ (x
2
)
2
− 4x
1
x
2
− 4x
2
x
3
.
Решение. Записываем матрицу A =
"
2 −2 0
−2 1 −2
0 −2 0
#
данной
квадратичной формы и находим собственные числа этой матрицы,
решая уравнение
2 − λ −2 0
−2 1 − λ −2
0 −2 −λ
= −λ
3
+ 3λ
2
+ 6λ − 8 =
= −(λ + 2)(λ
2
− 5λ + 4) = 0.
Имеем λ
1
= 4, λ
2
= 1, λ
3
= −2. Записываем канонический вид квад-
ратичной формы Q(x) = 4(y
1
)
2
+ (y
2
)
2
− 2(y
3
)
2
.
Находим единичные собственные векторы матрицы A:
f
1
=
2
3
, −
2
3
,
1
3
, f
2
=
2
3
,
1
3
, −
2
3
, f
3
=
1
3
,
2
3
,
2
3
,
образующие новый ортонормированный базис. По формулам (3.18)
получаем
y
1
y
2
y
3
=
1
3
2 −2 1
2 1 −2
1 2 2
x
1
x
2
x
3
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
