Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7. Приложение линейной алгебры
к задачам аналитической геометрии
7.1. Основные задачи аналитической геометрии.
Понятие уравнения линии и поверхности
Возможность характеризовать положение точки на плоскости и
в пространстве с помощью пары или тройки чисел позволяет приме-
нять для изучения кривых и поверхностей аппарат линейной алгеб-
ры и математического анализа.
Пусть на плоскости задана некоторая кривая L и выбрана декар-
това система координат (0, x, y).
Уравнение F (x, y) = 0 называется уравнением кривой L в выбран-
ной системе координат, если координаты (x, y) любой точки кривой
L удовлетворяют этому уравнению, и любое решение (x, y) уравне-
ния F (x, y) = 0 определяет точку M(x, y), принадлежащую L.
Совершенно аналогично можно определить уравнение
F (x, y, z) = 0 поверхности S относительно декартовой системы
координат: уравнением поверхности S относительно данной де-
картовой системы координат называется уравнение F (x, y, z) = 0,
которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащие на
этой поверхности, но не удовлетворяют координаты ни одной точки,
не лежащей на поверхности.
Кривую L в пространстве можно задать как линию пересечения
двух поверхностей, т.е. в виде системы двух уравнений:
F
1
(x, y, z) = 0,
F
2
(x, y, z) = 0,
где уравнения F
1
(x, y, z) = 0 и F
2
(x, y, z) = 0 определяют некоторые
поверхности, проходящие через кривую L.
Задание кривой в виде системы двух уравнений не всегда удобно
ввиду неоднозначности этой системы. Часто более удобным оказы-
вается параметрическое задание кривой
(
x = ϕ(t),
y = ψ(t),
z = η(t),
t
1
≤ t ≤ t
2
,
при котором положение точки на кривой характеризуется значени-
ем некоторого параметра t (в физике в качестве параметра t, как
правило, принимается время).
Параметрические уравнения кривой можно записать в векторной
форме
r = r(t) = ϕ(t)i + ψ(t)j + η(t)k

Страницы