Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7.1. Основные задачи аналитической геометрии 77
Выясним, в каких случаях произвольное уравнение второго по-
рядка
a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ 2a
12
xy + 2a
01
x + 2a
02
y + a
00
= 0, (7.3)
где a
ik
= const, относительно декартовых координат точки опреде-
ляет окружность, найдём её центр и радиус.
Сравнивая (7.2) и (7.3), видим, что уравнение (7.3) может опре-
делять окружность, если a
12
= 0, a
11
= a
22
6= 0. В этом случае урав-
нение (7.3) можно записать в виде
x
2
+ y
2
+
2a
01
a
11
x +
2a
02
a
11
y +
a
00
a
11
= 0
или, после выделения полных квадратов,
x +
a
01
a
11
2
+
y +
a
02
a
11
2
=
a
2
01
+ a
2
02
− a
00
a
11
a
2
11
. (7.4)
Если a
2
01
+ a
2
02
− a
00
a
11
> 0, то уравнение (7.4) определяет окруж-
ность, радиус которой равен
p
a
2
01
+ a
2
02
− a
00
a
11
|a
11
|
, а центр её
имеет координаты
−
a
01
a
11
, −
a
02
a
11
. Если a
2
01
+ a
2
02
− a
00
a
11
=0, то
уравнению (7.4) удовлетворяют координаты единственной точки
−
a
01
a
11
, −
a
02
a
11
. Если же a
2
01
+ a
2
02
− a
00
a
11
< 0, то уравнению (7.4)
не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости. Говорят,
что в этом случае уравнение (7.4) определяет мнимую окружность.
Таким образом, уравнение (7.3) является уравнением окружности
только в случае, если a
12
= 0, a
11
= a
22
6= 0, a
2
01
+ a
2
02
− a
00
a
11
> 0.
Частично мы реши ли задачу 2): зная уравнение (7.3), выяснили,
при каких ус ловиях оно определяет окружность. Полное решение
этой задачи, т.е. исследование случаев, когда a
12
6= 0, a
11
6= a
22
, будет
проведено позднее, после изучения эллипса, гиперболы и параболы.
Пример 1. Найдите центр и радиус окружности
x
2
+ y
2
+ 2x − 4y − 4 = 0. (а)
Решение. Выделяя полные квадраты, уравнение (a) можно запи-
сать в виде
(x + 1)
2
+ (y − 2)
2
= 9. (б)
Сравнивая (7.1) и (б), видим, что центр имеет координаты (−1; 2), а
радиус R = 3.
Парабола. Параболой называется множество всех точек плоско-
сти, равноудалённых от данной точки F и данной прямой этой же
плоскости.

Страницы