Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

7.1. Основные задачи аналитической геометрии 79
Сфера. Записать уравнение сферы с центром в точке C(a, b, c)
радиуса R.
Как известно, сферой называется множество всех точек простран-
ства, равноудалённых от данной фиксированной точки.
Если M(x, y, z) — произвольная точка сферы, то |MC| = R, сле-
довательно:
(x −a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
— (7.5)
уравнение сферы.
Аналогично тому, как это сделано для окружности, можно дока-
зать, что произвольное уравнение второго порядка
a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ a
33
z
2
+ 2a
12
xy + 2a
13
xz + 2a
23
yz +
+ 2a
01
x + 2a
02
y + 2a
03
z + a
00
= 0
(7.6)
определяет сферу, если a
11
= a
22
= a
33
6= 0, a
12
= a
13
= a
23
= 0,
a
2
01
+ a
2
02
+ a
2
03
− a
00
a
11
> 0, с центром в точке
−
a
01
a
11
, −
a
02
a
11
, −
a
02
a
11
радиуса R =
p
a
2
01
+ a
2
02
+ a
2
03
− a
00
a
11
|a
11
|
.
Если a
2
01
+ a
2
02
+ a
2
03
− a
00
a
11
= 0, то уравнению (7.6) удовлетво-
ряют только координаты точки C. При a
2
01
+ a
2
02
+ a
2
03
− a
00
a
11
< 0
уравнению (7.6) не удовлетворяют координаты ни одной точки про-
странства. Имеем так называемую мнимую сферу.
Цилиндрическая поверхность. Пусть даны некоторая кривая L и
ненулевой вектор l. Цилиндрической поверхностью называется по-
верхность, образованная всеми прямыми, параллельными вектору l
и пересекающими кривую L. При этом кривую L называют направ-
ляющей, а соответствующие прямые — образующими цилиндриче-
ской поверхности. Покажем, что уравнение F (x, y) = 0 в простран-
стве определяет цилиндрическую поверхность, образующие которой
параллельны оси OZ, а направляющей является кривая в коорди-
натной плоскости OXY , определяемая уравнением F (x, y) = 0. Дей-
ствительно, если координаты точки M
0
(x
0
, y
0
) удовлетворяют урав-
нению F (x, y) = 0, то этому уравнению удовлетворяют координаты
точки M(x
0
, y
0
, z) при любом z, т.е. все точки прямой, проходящей
через точку M
0
(x
0
, y
0
, 0) параллельно оси OZ. Отсюда и сл едует, что
поверхность F (x, y) = 0 есть цилиндрическая с образующими, парал-
лельными оси OZ. Например, уравнение x
2
+ y
2
= 1 в пространстве
определяет круговой цилиндр, а уравнение y
2
= 2px — параболиче-
ский цилиндр.
Аналогично уравнение F(y, z) = 0 определяет цилиндрическую
поверхность с направляющей
F (y, z) = 0,
x = 0
и образующей, парал-
лельной оси OX.

Страницы