Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

80 7. Приложение линейной алгебры
Коническая поверхность. Пусть дана в пространстве некоторая
кривая L и точка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
). Поверхность, образованная движе-
нием прямой, проходящей через точку M
0
и пересекающей кривую
L, называется конической поверхностью. Точка M
0
называется вер-
шиной конической поверхности.
Пусть дано уравнение F (x, y, z) = 0. Функция F (x, y, z) называ-
ется однородной степени m (m > 0), если при любом t выполняет-
ся условие F (tx, ty, tz) = t
m
F (x, y, z). Соответствующее уравнение
F (x, y, z) = 0 также называется однородным. Например, уравнение
F (x, y, z) = x
2
+ y
2
− z
2
= 0 однородное степени 2. Можно доказать,
что однородное уравнение F (x, y, z) = 0 определяет коническую по-
верхность с вершиной в начале координат. Доказать самостоятельно
после изучения п. 7.5.
Поверхности вращения. Пусть на плоскости XOY задана ли-
ния F (x, y) = 0. При вращении кривой вокруг оси OX мы полу-
чим поверхность, называемую поверхностью вращения. Если точка
M
0
(x, y, 0) лежала на кривой F (x, y) = 0, то при вращении вокруг
оси OX она опишет окружность с центром в точке C(x, 0, 0), ради-
ус которой равен |y|. Пусть M(X, Y, Z) — точка поверхности. Тогда
x = X, y = ±
√
Y
2
+ Z
2
. Поэтому уравнение поверхности вращения
будет иметь вид F(X, ±
√
Y
2
+ Z
2
) = 0. Например, вращая параболу
y
2
= 2px вокруг оси OX, получим поверхность y
2
+ z
2
= 2px, назы-
ваемую эллиптическим параболоидом вращения.
7.2. Полярная система координат
Кроме декартовой системы координат, в математике применяется
и ряд других. В этом подразделе познакомимся с одной из них.
Полярная система координат состоит из точки, называемой по-
люсом, и проходящей через неё оси, называемой полярной осью.
Числа (r, ϕ) называются по-
-
6
*
.
.
y
O
x
M
r
ϕ
Рис. 7.2.
лярными координатами точки M,
если r = |OM|, а ϕ — угол между
полярной осью и вектором OM,
отсчитанный по правилам триго-
нометрии (рис. 7.2). Будем счи-
тать, что 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π.
Поместим начало декартовой
системы в полюс O, а ось OX на-
правим по полярной оси. Тогда
можно выразить декартовы координаты через полярные формулами:
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. В этом же случае соотношения r =
p
x
2
+ y
2
,

Страницы