Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

78 7. Приложение линейной алгебры
Данная точка F называется фокусом параболы, а данная
прямая — директрисой параболы. Выберем декартову систему ко-
ординат следующим образом: ось OX проведём через фокус F пер-
пендикулярно директрисе (рис. 7.1). Начало координат поместим в
точку, равноудалённую от фокуса и директрисы. Обозначим рассто-
яние между фокусом и директрисой через p. Величину p называют
параметром параболы.
При таком выборе системы
Рис. 7.1.
коорд инат для всех точек ди-
ректрисы x = −
p
2
, а фокус F
имеет коорд инаты
p
2
, 0
. Пусть
M(x, y) — произвольная точка па-
раболы. Тогда по определению
параболы имеет место равенство
|AM| = |MF|, где A
−
p
2
, y
—
точка директрисы. Следовательно,
r
x +
p
2
2
=
r
p
2
− x
2
+ y
2
.
Из равенства корней следует равенство подкоренных выражений,
т.е.
x +
p
2
2
=
p
2
− x
2
+ y
2
или x
2
+ px +
p
2
4
=
p
2
4
− px + x
2
+ y
2
,
т.е. y
2
= 2px. Это соотношение равносильно условию |AM| = |MF|,
так как мы не совершали операций, которые могли бы привести к
потере решений и к появлению других решений. Таким образом, мы
получили искомое уравнение параболы y
2
= 2px, называемое кано-
ническим.
Легко доказать, что уравнение (7.3) может определять параболу,
если a
11
a
22
− a
2
12
= 0. Это следует из того, что определитель мат-
рицы квадратичной формы не изменяется при изменении базиса, но
для квадратичной формы B(x, y) = y
2
этот определитель равен ну-
лю. При выполнении условия a
11
a
22
−a
2
12
= 0 кривая, определяемая
уравнением (7.3), может распасться на пару параллельных или сов-
павших прямых.
Пример 2. Докажите, что уравнение y
2
−6y+6+x = 0 определяет
параболу. Найдите значение её параметра p и координаты вершины.
Решение. Выделяя полный квадрат, получаем (y −3)
2
+x −3 = 0.
Если положить y
1
= y − 3, x
1
= −x + 3, то уравнение приводится к
виду y
2
1
= x
1
. Сравнивая последнее уравнение с каноническим урав-
нением параболы, находим, что 2p = 1 и p = 1/2. Вершина параболы
находится в точке (3, 3).

Страницы