Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6.7. Билинейные и квадратичные формы 73
Теорема 11. В евклидовом линейном пространстве E
n
существу-
ет ортонормированный базис (f
1
, f
2
, . . . , f
n
), в котором квадратичная
форма имеет канонический вид.
Доказательство. Заметим, что при переходе от одного ортонор-
мированного базиса к другому матрицы квадратичной формы и ли-
нейного оператора изменяются по одному закону, так как в этом
случае C
T
= C
−1
, где C — матрица перехода. Следовательно, ес-
ли матрицы линейного оператора и квадратичной формы совпада-
ют в одном ортонормированном базисе, то они совпадают и во всех
остальных.
Возьмём симметрический линейный оператор A, матрица которо-
го в ортонормированном базисе {e
i
} совпадает с матрицей B квадра-
тичной формы. По свойству 4 симметрического линейного оператора
(см. п. 6.5) существует ортонормированный базис {f
j
}, состоящий из
собственных векторов этого оператора. В базисе {f
j
} матрица опе-
ратора A имеет диагональный вид
˜
A =
λ
1
0 . . . . . . 0
0 λ
2
. . . . . . 0
··· ··· ··· ··· ···
0 0 . . . . . . λ
n
,
где λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
— собственные числа данного линейного оператора.
Матрица квадратичной формы B(x, x) в этом же базисе совпадает с
˜
A, но тогда квадратичная форма примет канонический вид, причём
её коэффициенты совпадут с числами λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
.
Теорема доказана.
Векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная
форма имеет канонический вид, называются главными осями квад-
ратичной формы. Опишем последовательность действий, которые
нужно совершить, чтобы привести квадратичную форму к главным
осям.
1. По квадратичной форме B(x, x) составляем симметричную
матрицу B = [b
ik
].
2. Находим собственные числа λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
матрицы B и запи-
сываем канонический вид квадратичной формы
B(x, x) = λ
1
(η
1
)
2
+ λ
2
(η
2
)
2
+ . . . + λ
n
(η
n
)
2
.
3. Находим собственные векторы матрицы B. При этом если
какое-нибудь собственное число λ
i
имеет кратность m, то ему бу-
дет соответствовать система из m собственных линейно независимых
векторов. Полученную систему из m векторов ортогонализируем ме-
тодом, описанным в п. 3.7. Проделав такую операцию с каждым соб-
ственным вектором, получим ортогональный базис. Пронормировав
его, найдём искомый ортонормированный базис.

Страницы