ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6.7. Билинейные и квадратичные формы 71
x и y из R
n
сопоставить число B(x, y), причём это правило удовле-
творяет условиям:
B(αx
1
+ βx
2
, y) = αB(x
1
, y) + βB(x
2
, y),
B(x, µy
1
+ νy
2
) = µB(x, y
1
) + νB(x, y
2
),
(6.9)
где α, β, µ, ν — любые числа, а x, y, x
1
, x
2
, y
1
, y
2
— любые векторы
из R
n
.
Из (6.9) следует, что билинейная форма есть линейная форма
относительно первого аргумента при фиксированном втором и ли-
нейная форма относительно второго аргумента при фиксированном
первом.
Пусть {e
i
} = (e
1
, e
2
, . . . , e
n
) — произвольный базис R
n
и x = ξ
i
e
i
,
y = η
j
e
j
, — два произвольных вектора из R
n
, тогда B(x, y) =
= B(ξ
i
e
i
, η
j
e
j
) = ξ
i
η
j
B(e
i
, e
j
). Обозначив B(e
i
, e
j
) = b
ij
, получим
B(x, y) = ξ
i
η
j
b
ij
— (6.10)
общий вид билинейной формы. Запишем соотношение (6.10) при
n = 3:
B(x, y) = ξ
1
η
1
b
11
+ ξ
1
η
2
b
12
+ ξ
2
η
1
b
21
+ ξ
1
η
3
b
13
+ ξ
3
η
1
b
31
+
+ξ
2
η
3
b
23
+ ξ
3
η
2
b
32
+ ξ
2
η
2
b
22
+ ξ
3
η
3
b
33
.
Числа b
ij
называются коэффициентами билинейной формы.
Из этих чисел можно составить матрицу
B =
b
11
b
12
. . . . . . b
1n
b
21
b
22
. . . . . . b
2n
··· ··· ··· ··· ···
b
n1
b
n2
. . . . . . b
nn
,
называемую матрицей билинейной формы относительно базиса e
i
.
Выясним, как изменяется матрица билинейной формы при измене-
нии базиса. Пусть f
j
= c
i
j
e
i
, C = [c
i
j
] — формулы перехода от бази-
са {e
i
} к базису {f
j
}. Коэффициенты билинейной формы B(x, y)
в новом базисе обозначим
˜
b
ij
, а её матрицу через
˜
B. Находим
˜
b
ij
= B(f
i
, f
j
) = B(c
k
i
e
k
, c
m
j
e
m
) = c
k
i
c
m
j
B(e
k
, e
m
) = c
k
i
c
m
j
b
km
, т.е.
˜
b
ij
= c
k
i
c
m
j
b
km
, i, j, k, m =
1, n. (6.11)
Соотношения (6.11) эквивалентны матричному равенству
˜
B = C
T
BC. (6.12)
Теорема 7. Ранг r матрицы билинейной формы не изменяется при
изменении базиса.
Справедливость теоремы 7 следует непосредственно из соотноше-
ния (6.12).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
