Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

6.5. Собственные векторы и собственные числа 69
Заметим, что собственному числу λ = −1 кратности 2 отвечает
лишь один с точностью до числового множителя собственный век-
тор, т.к. в рассматриваемом примере rang (A −λE) = 2 при λ = −1.
Таким образом, матрица A имеет лишь два линейно независимых
собственных вектора.
Если существует базис {e
i
}, состоящий из собственных векторов
оператора A : R
n
→ R
n
, то в этом базисе его матрица имеет диа-
гональный вид, поскольку Ae
i
= λ
i
e
i
. При этом по диагонали рас-
положены собственные числа оператора A. Но не всякий линейный
оператор имеет такой базис, поскольку с обственных линейно незави-
симых векторов может быть менее n (см. пример выше). Рассмотрим
частный класс линейных операторов, для которых такой базис все-
гда существует.
Линейный оператор A : E
n
→ E
n
, действующий в евклидовом
пространстве E
n
, называется симметрическим, или самосопряжен-
ным, если для любых векторов x и y из E
n
выполняется условие
(Ax, y) = (x, Ay).
Отметим некоторые свойства симметрического линейного опера-
тора.
Свойство 1. Линейный оператор A является симметрическим то-
гда и только тогда, когда его матрица A в любом ортонормирован-
ном базисе симметрична, т.е. совпадает с транспонированной матри-
цей A
T
.
Предлагается справедливость свойства доказать самостоятельно.
Свойство 2. Собственные векторы симметрического линейного
оператора A, отвечающие различным собственным числам λ
1
и λ
2
(λ
1
6= λ
2
), ортогональны.
Действительно, если собственные векторы x и y оператора A от-
вечают собственным числам λ
1
и λ
2
, то Ax = λ
1
x, Ay = λ
2
y и
поэтому (Ax, y) = λ
1
(x, y), (x, Ay) = λ
2
(x, y). Так как оператор
A симметрический, то (Ax, y) − (x, Ay) = 0, т.е. (λ
1
− λ
2
)(x, y) = 0.
Поскольку λ
1
− λ
2
6= 0, то (x, y) = 0, следовательно, векторы x и y
ортогональны.
Свойство 3. Собственному числу кратности m симметрического
линейного оператора соответствует линейно независимая система из
m собственных векторов этого оператора.
Свойство 4. Для всякого симметрического линейного оператора
(симметричной матрицы) существует ортонормированный базис, со-
стоящий из его собственных векторов.
Справедливость свойств 3 и 4 примем без доказательства.

Страницы