Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5.6. Смешанное произведение 59
Решение:
а) S =
1
6
[DA, DC]
; DA = (2, −4, −4); DC = (0, −6, −3).
[DA, DC] =
i j k
2 −4 −4
0 −6 −3
= −12i + 6j −12k = −6(2i −j + 2k).
S =
1
6
|6(2i − j + 2k)| = |(2i − j + 2k)| =
√
4 + 1 + 4 = 3;
б) V =
1
6
|(AB + DB, DA, DC)|. Находим AB = (0, 1, −1);
DB = (2, −3, −5); AB + DB = (2, −2, −6).
Находим объём пирамиды
V =
1
6
mod
2 −2 −6
2 −4 −4
0 −6 −3
= 2 mod
1 −1 −3
1 −2 −2
0 −2 −1
=
= 2
1 −1 −3
0 −1 1
0 −2 −1
= 6;
в) высоту пирамиды AH найдём по формуле h =
3V
S
, где V —
объём пирамиды ABCD, а S — площадь её основания BCD. Нахо-
дим объём пирамиды ABCD по формуле
V =
1
6
|(AB, AC, AD)|.
Так как AB = (0, 1, −1); AC = (−2, −2, 1); AD = (−2, 4, 4), то
(AB, AC, AD) =
0 1 −1
−2 −2 1
−2 4 4
=
0 1 −1
0 −6 −3
−2 4 4
= 18.
Поэтому V = 3. Вычисляем S =
1
2
|[BC, BD]|, где BC = (−2, −3, 2),
BD = (−2, 3, 5) .
[BC, BD] =
i j k
−2 −3 2
−2 3 5
= −21i + 6j − 12k,
|[BC, BD]| = 3
√
7
2
+ 2
2
+ 4
2
= 3
√
69,
S =
3
√
69
2
.
Следовательно, h =
3 · 3 · 2
3
√
69
=
6
√
69
.

Страницы