Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5.6. Смешанное произведение 57
Используя свойства 4 и 5, получим
[a,b] = [x
1
i + y
1
j + z
1
k,x
2
i + y
2
j + z
2
k] = x
1
x
2
[i,i] + x
1
y
2
[i,j]+
+x
1
z
2
[i,k] + y
1
x
2
[j,i] + y
1
y
2
[j,j] + y
1
z
2
[j,k] + z
1
x
2
[k,i] + z
1
y
2
[k,j]+
+z
1
z
2
[k,k] = x
1
y
2
k − x
1
z
2
j − x
2
y
1
k + y
1
z
2
i + z
1
x
2
j − z
1
y
2
i =
= (y
1
z
2
− y
2
z
1
)i − (x
1
z
2
− x
2
z
1
)j + (x
1
y
2
− x
2
y
1
)k.
Полученный результат можно записать в компактной форме:
[a, b] =
i j k
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
, так как предыдущее равенство совпадает с
разложением определителя третьего порядка по элементам первой
строки, если бы вместо i, j, k были числа.
Векторное произведение можно применять при нахождении
какого-либо вектора, ортогонального двум данным, при вычислении
площадей параллелограмма и треугольника, при нахождении линей-
ной скорости через угловую и радиус-вектор точки, при вычислении
моментов силы относительно точки и решении других задач.
5.6. Смешанное произведение
Определение. Смешанным произведением трёх векторов a, b, c
называется скалярное произведение векторного произведения пер-
вых двух векторов на третий. Обозначается векторное произведение
(a, b, c). Таким образом, (a, b, c) = ([a, b], c).
Пусть векторы a, b, c некомпланарны. Построим параллелепипед
на этих векторах, как на рёбрах. Обозначим высоту параллелепипеда
через H, а [a, b] — чер ез d. Тогд а
(a, b, c) = ([a, b], c) = |[a, b]||c|cos(dˆ,c).
Так как |c|cos(dˆ,c) = H, если тройка a, b, c правая, и |c|cos(dˆ,c) =
= −H, если тройка левая, а величина |[a, b]| равна площади основа-
ния параллелепипеда, то смешанное произведение имеет следующий
геометрический смысл: абсолютная величина смешанного произве-
дения трёх некомпланарных векторов равна объёму параллелепипе-
да, построенного на этих векторах, как на рёбрах. Если тройка a, b, c
правая, то (a, b, c) > 0, если левая, то (a, b, c) < 0.
Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их
смешанное произведение равно нулю. Получим выражение смешан-
ного произведения через декартовы координаты сомножителей.
Пусть a = x
1
i + y
1
j + z
1
k, b = x
2
i + y
2
j + z
2
k, c = x
3
i + y
3
j + z
3
k.

Страницы