Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Магазинников Л.И - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5.5. Векторное произведение и его свойства 55
5) косинусы углов α, β, γ между векторами и осями координат,
называемые направляющими косинусами:
cos α =
x
p
x
2
+ y
2
+ z
2
, cos β =
y
p
x
2
+ y
2
+ z
2
,
cos γ =
z
p
x
2
+ y
2
+ z
2
;
6) координаты орта вектора a, т.е. координаты вектора a
0
, на-
правленного так же, как и a, по длине равного единице. Координаты
орта вектора совпадают с его направляющими косинусами.
Пример 4. Найдите |a|, если a = 4p + r, где |p| = 1, |r| =
√
2,
(pˆ,r) = 45
◦
.
Решение: |a|
2
= (a, a) = (4p + r, 4p + r) = 16(p, p) + 8(p, r)+
+(r, r) = 16 · 1 + 8 · 1 ·
√
2 ·
√
2
2
+ 2 = 16 + 8 + 2 = 26; |a| =
√
26.
Пример 5. Даны три вектора: a = 3i − 6j − k, b = i + 4j − 5k,
c = 3i − 4j + 12k. Найдите Пр
c
(a + b).
Решение. Находим Пр
c
(a + b) =
(a + b, c)
|c|
,
a + b = {4, −2, −6}, (a + b, c) = 12 + 8 −72 = −52;
|c| =
√
9 + 16 + 144 =
√
169 = 13; Пр
c
(a + b) = −
52
13
= −4.
5.5. Векторное произведение и его свойства
Пусть дана упорядоченная тройка некомпланарных векторов
a,b,c, построенных из одной точки. Говорят, что эта тройка образует
правую связку, если движение от вектора a к вектору b в кратчай-
шем направлении происходит против часовой стрелки, если смотреть
с конца вектора c. В противном случае связка называется левой.
Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных
векторов a и b относительно данной системы координат называется
третий вектор c, обозначаемый [a,b], который:
1) ортогонален каждому из векторов a и b, т.е. c⊥a и c⊥b;
2) имеет длину, равную произведению длин векторов a и b на
синус угла между ними, т.е. |c| = |a||b|sin(aˆ,b), (0 < aˆ,b) < π;
3) тройка векторов a,b,c образует правую связку, если система
координат правая, и левую связку, если система координат левая.
Замечаем, что введенное понятие векторного произведения суще-
ственно зависит от ориентации системы координат. Если мы перей-
дем от одной системы координат к другой системе той же ориентации

Страницы