ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
152 Дифференциальное исчисление
19.8. Найдите дифференциал указанного порядка от сле-
дующих функций:
а) y = x
5
, d
5
y; б) y =
1
√
x
, d
4
y; в) y = xe
2x
, d
10
y.
Решение: а) y
(5)
= (x
5
)
(5)
= 120, d
5
y = 120(dx)
5
;
б) y = x
−1/2
, y
0
= −
1
2
x
−3/2
, y
00
=
3
4
x
−5/2
, y
000
= −
15
8
x
−7/2
,
y
(4)
=
105
16
x
−9/2
, d
4
y =
105
16
1
x
4
√
x
(dx)
4
;
в) применяя формулу Лейбница, находим
(xe
2x
)
(10)
= x(e
2x
)
(10)
+ 10(e
2x
)
(9)
= 2
10
xe
2x
+ 10 · 2
9
e
2x
, по-
этому d
10
y = 2
9
e
2x
(2x + 10)(dx)
10
.
19.9. Найдите дифференциал второго порядка от следую-
щих функций: а) z = y ln x; б) z = e
xy
.
Решение: а) находим частные производные второго поряд-
ка от функции z = y ln x:
∂z
∂x
=
y
x
,
∂
2
z
∂x
2
= −
y
x
2
,
∂z
∂y
= ln x,
∂
2
z
∂y
2
= 0,
∂
2
z
∂y∂x
=
∂
2
z
∂x∂y
=
1
x
, поэтому
d
2
z = −
y
x
2
(dx)
2
+
2
x
dxdy;
б) поскольку
∂
2
z
∂x
2
= y
2
e
xy
,
∂
2
z
∂x∂y
= (xy + 1)e
xy
,
∂
2
z
∂y
2
= x
2
e
xy
, то d
2
z = [y
2
(dx)
2
+ 2(xy + 1)dxdy + x
2
(dy)
2
]e
xy
.
19.10. Найдите второй дифференциал d
2
z:
а) z = f
1
(t), t = e
3x
; б) z = f
2
(t), t = x
3
+ y
3
.
Решение: а) по свойству инвариантности формы записи пер-
вого дифференциала можем записать dz = f
0
1
(t)dt. Применяя
формулу дифференциала от произведения, находим
d
2
z = d(dz) = d[f
0
1
(t)dt] = [df
0
1
(t)]dt + f
0
1
(t)d(dt) =
= f
00
1
(t)(dt)
2
+ f
0
1
(t)d
2
t,
но dt = e
3x
· 3dx, d
2
t = 9e
3x
(dx)
2
, поэтому
d
2
z = f
00
1
(t)(e
3x
· 3dx)
2
+ f
0
1
(t) · 9e
3x
(dx)
2
=
= [f
00
1
(t)e
6x
+ f
0
1
(t)e
3x
] · 9(dx)
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- …
- следующая ›
- последняя »
