Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

19. Дифференциал 153
Отсюда следует, что
d
2
f
1
dx
2
= 9f
00
1
(t)e
6x
+ 9f
0
1
(t)e
3x
. Эту же за-
дачу можно решить и другим способом: найти
d
2
f
1
dx
2
, а затем
записать d
2
z =
d
2
f
1
dx
2
(dx)
2
;
б) как и при решении предыдущего примера, находим
d
2
z = f
00
2
(t)(dt)
2
+ f
0
2
(t)d
2
t. В нашем примере dt = 3x
2
dx +
+ 3y
2
dy, d
2
t = 6x(dx)
2
+ 6y(dy)
2
(произведение dxdy отсут-
ствует, так как
∂
2
t
∂x∂y
= 0). Поэтому
d
2
z = f
00
2
(t)(3x
2
dx + 3y
2
dy)
2
+ f
0
2
(t)[6x(dx)
2
+ 6y(dy)
2
] =
= [9x
4
f
00
2
(t) + 6xf
0
2
(t)](dx)
2
+ 18x
2
y
2
f
00
2
(t)dxdy+
+[9y
4
f
00
2
(t) + 6yf
0
2
(t)](dy)
2
.
Отсюда следует, что
∂
2
f
2
∂x
2
= 9x
4
f
00
2
(t) + 6xf
0
2
(t),
∂
2
f
2
∂x∂y
= 9x
2
y
2
f
00
2
(t),
∂
2
f
2
∂y
2
= 9y
4
f
00
2
(t) + 6yf
0
2
(t)
(объясните почему).
19.11. Найдите d
2
z, если z = f(u, v), u = x
2
+ y
2
,
v = x
3
− y
3
.
Решение. В задаче 14.11 найдены
∂
2
f
2
∂x
2
,
∂
2
f
2
∂x∂y
,
∂
2
f
2
∂y
2
. Оста-
ётся их выражения подставить в соотношение
d
2
z =
∂
2
f
∂x
2
(dx)
2
+ 2
∂
2
f
∂x∂y
dxdy +
∂
2
f
∂y
2
(dy)
2
.
Предлагаем эту подстановку проделать самостоятельно.
Во всех предыдущих примерах мы искали дифференциал
явно заданных функций. В случае неявно заданных функций
или заданных параметрически меняется лишь правило отыс-
кания производных.
19.12. Найдите dy и d
2
y, если функция y(x) задана неявно
уравнением e
y
− x − y = 0.

Страницы