ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19. Дифференциал 151
Дифференциал является функцией точки и приращений
аргументов. Приращения аргументов будем полагать в задан-
ном процессе постоянными и независящими от выбора точ-
ки. При таком соглашении дифференциал является функци-
ей от тех же аргументов, что и исходная функция, т. е. ес-
ли z = f(x, y), то dz = ϕ(x, y). Можно найти дифференциал от
дифференциала d(dz) = dϕ(x, y). Его обозначают d(dz) = d
2
z и
называют вторым дифференциалом или дифференциалом вто-
рого порядка. В этой схеме дифференциал dz называют первым
дифференциалом.
Аналогично можно ввести понятие дифференциала лю-
бого порядка: d(d
2
z) = d
3
z — третий дифференциал, . . . ,
d(d
(n−1)
z) = d
(n)
z — дифференциал порядка n. Для скалярной
функции y = f(x) одного скалярного аргумента x легко нахо-
дим (учитывая соглашение о независимости dx от x):
d
2
f = d(f
0
(x)dx) = f
00
(x)(dx)
2
; d
3
f = f
000
(x)(dx)
3
; . . . ; d
n
f =
= f
(n)
(x)(dx)
n
.
Подчеркнём ещё раз, что в этих соотношениях x — незави-
симая переменная. Если же x = x(t), т. е. x является функ-
цией другого аргумента, то d(dx) 6= 0, и записанные выра-
жения для дифференциалов несправедливы. В этом случае
d
2
f = f
00
(x)(dx)
2
+ f
0
(x)d
2
x. Видим, что дифференциалы выс-
ших порядков, начиная со второго, свойством инвариантности
формы записи не обладают.
Для функции z = f(x, y), если x и y — независимые пере-
менные, легко находим:
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy;
d
2
z =
∂
2
f
∂x
2
(dx)
2
+ 2
∂f
∂x∂y
dxdy +
∂
2
f
∂y
2
(dy)
2
;
d
3
z =
∂
3
f
∂x
3
(dx)
3
+ 3
∂
3
f
∂y∂x
2
(dx)
2
dy + 3
∂
3
f
∂y
2
∂x
dx(dy)
2
+
+
∂
3
f
∂y
3
(dy)
3
и т. д.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- …
- следующая ›
- последняя »
