Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

19. Дифференциал 149
Решение. Примем f(x) = x
5
, x
0
= 1, x
1
= 1,03,
∆x = 1,03 − 1 = 0,03. Можем записать f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
) =
= ∆f(x
0
), f(x
0
+ ∆x) = f(x
0
) + ∆f(x
0
) ≈ f(x
0
) + df(x
0
).
В нашей задаче f(x
0
) = f(1) = 1
5
= 1, f(x
0
+ ∆x) = (1,03)
5
,
∆f(x
0
) ≈ df(x
0
) = 5x
4
0
∆x = 5 · 1
4
· 0,03 = 0,15. Поэтому
(1,03)
5
≈ 1 + 0,15 = 1,15. Точное вычисление дает (1,03)
5
=
= 1,1592740743 ≈ 1,1593, т. е. допущена абсолютная погреш-
ность ∆ = |1,15 − 1,1593|
∼
=
0,0093, а относительная —
δ =
0,0093
1,1593
≈ 0,008, т. е. менее одного процента.
19.6. Даны функция z(x, y) = 2x
2
− 3xy − 4y
2
и точки
M
0
(2; −3) и M
1
(2,01; −2,97). Вычислите ∆z и dz при перехо-
де из точки M
0
в M
1
. Вычислите приближенно, заменяя ∆z
величиной dz, значение f(M
1
). Укажите абсолютную и отно-
сительную погрешности, допускаемые при этом.
Решение. Находим: ∆z = z(M
1
) − z(M
0
),
z(M
1
) = 2 · (2,01)
2
− 3 · 2,01(−2,97) − 4(−2,97)
2
= 8,0802 +
+ 17,9091 − 35,2836 = −9,2943, z(M
0
) = 8 + 18 − 36 = −10,
∆z = −9,2943 − (−10) = 0,7057.
По формуле (в) находим:
dz(x
0
, y
0
, dx, dy) =
∂z
∂x
(M
0
)dx +
∂z
∂y
(M
0
)dy,
∂z
∂x
= 4x − 3y,
∂z
∂x
(M
0
) = 8 + 9 = 17,
∂z
∂y
= −3x − 8y,
∂z
∂y
(M
0
) = −6 + 24 = 18,
∆x = 2,01 − 2 = 0,01 = dx, ∆y = −2,97 − (−3) = 0,03 = dy,
поэтому
dz(M
0
) =
∂z
∂x
(M
0
)dx +
∂z
∂y
(M
0
)dy = 17 · 0,01 + 18 · 0,03 =
= 0,17 + 0,54 = 0,71, z(M
1
) ≈ z(M
0
) + df = −10 + 0,71 = −9,29.
Абсолютная погрешность равна ∆ = |−9,2943 −(−9,29)| =
= 0,0043, а относительная — δ =
0,0043
9,2943
≈ 0,0005, т. е. 0,05 %.

Страницы