Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

150 Дифференциальное исчисление
Итак, дифференциал — это линейная относительно
∆x
1
, ∆x
2
, . . . , ∆x
n
функция. При малых ∆x
i
дифференциал
мало отличается от приращения функции.
Дифференциал обладает свойством инвариантности формы
записи, заключающемся в следующем: дифференциал функ-
ции y = f(x) записывается в виде dy = f
0
(x)dx, как в случае,
когда x независимая переменная, так и в случае, когда x явля-
ется функцией одного или нескольких аргументов; дифферен-
циал функции f(x, y) записывается в форме df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
независимо от того, являются ли x и y независимыми пере-
менными или сами являются функциями одного или многих
аргументов.
19.7. Найдите дифференциал следующих функций:
а) z = f
1
(t), t = x
3
; б) z = f
2
(t), t = xy
2
+ x
2
y;
в) z = f
3
(u, v), u = x
2
, v = x
3
;
г) z = f
4
(u, v), u = x
2
+ y
2
, v = x
2
− y
2
,
где f
1
, f
2
, f
3
, f
4
— любые дифференцируемые функции.
Решение. Во всех четырёх функциях аргументы t, u, v не
являются независимыми. При отыскании дифференциала бу-
дем использовать свойство инвариантности формы его записи:
а) df
1
= f
0
1
(t)dt = f
0
1
(t) · 3x
2
dx;
б) df
2
= f
0
2
(t)dt = f
0
2
(t)[(y
2
+ 2xy)dx + (2xy + x
2
)dy];
в) df
3
=
∂f
3
∂u
(u, v)du+
∂f
3
∂v
(u, v)dv =
∂f
3
∂u
·2xdx+
∂f
3
∂v
·3x
2
dx =
=
µ
∂f
3
∂u
· 2x +
∂f
3
∂v
· 3x
2
dx;
г) df
4
=
∂f
4
∂u
(u, v)du +
∂f
4
∂v
(u, v)dv =
∂f
4
∂u
· (2xdx + 2ydy) +
+
∂f
4
∂v
·(2xdx−2ydy) =
µ
∂f
4
∂u
+
∂f
4
∂v
·2xdx+
µ
∂f
4
∂u
−
∂f
4
∂v
·2ydy.

Страницы