Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

148 Дифференциальное исчисление
19.3. Найдите дифференциал следующих функций:
f
1
(t) =
sin t
2
cos t
2
t
2
; f
2
(x, y) =
x
y
2
y
x
2
.
Решение. По правилу отыскания дифференциала вектор-
ных функций находим:
df
1
(t) =
d(sin t
2
)
d(cos t
2
)
d(t
2
)
=
2t cos t
2
dt
−2t sin t
2
dt
2tdt
;
df
2
(x, y) =
d
µ
x
y
2
d
µ
y
x
2
=
1
y
2
dx −
2x
y
3
dy
−
2y
x
3
dx +
1
x
2
dy
.
19.4. Дано: функция f(x) = x
2
+ 2, x
0
= 1, x
1
= 1,02.
Вычислите дифференциал и приращение функции при пере-
ходе из точки x
0
в x
1
. Оцените абсолютную и относительную
погрешность, допускаемую при замене приращения функции
дифференциалом.
Решение. df = f
0
(x
0
)dx = f
0
(x
0
)∆x = f
0
(x
0
)(x
1
− x
0
).
В нашем примере f
0
(x) = 2x, f
0
(x
0
) = f
0
(1) = 2,
x
1
− x
0
= 1,02 − 1 = 0,02, поэтому df = 2 · 0,02 = 0,04;
∆f = f(x
1
) − f(x
0
) = (1,02)
2
+ 2 − (1
2
+ 2) = 0,0404.
Как видим, |∆f−df| = 0,0004, т. е. абсолютная погрешность
при замене приращения функции дифференциалом в данном
случае составила 0,0004, а относительная погрешность равна
¯
¯
¯
¯
∆f − df
∆f
¯
¯
¯
¯
=
0,0004
0,0404
≈ 0,0099, что составляет примерно 1%.
В приближенных вычислениях иногда используют прием
замены приращения функции дифференциалом.
19.5. Заменяя приращение функции её дифференциалом,
вычислите приближенно (1,03)
5
. Оцените абсолютную и отно-
сительную погрешности, допускаемые при этом.

Страницы