Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

146 Дифференциальное исчисление
полагают ∆x = dx = (dx
1
, dx
2
, . . . , dx
n
)
T
. Таким образом, диф-
ференциал — это значение линейного оператора A для вектора
приращений ∆x.
Как следует из (а), дифференциал функции есть величи-
на бесконечно малая при ∆x → 0, эквивалентная приращению
∆f, если матрица A не нулевая.
В случае f : X ⊂ R → Y ⊂ R, т. е. скалярной функции
одного скалярного аргумента, имеем
df = f
0
(x
0
)dx. (б)
В случае f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R, т. е. скалярной функции
f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) векторного аргумента, имеем
df =
·
∂f
∂x
1
,
∂f
∂x
2
, . . . ,
∂f
∂x
n
¸
dx
1
dx
2
.
.
.
dx
n
=
=
∂f
∂x
1
dx
1
+
∂f
∂x
2
dx
2
+ . . . +
∂f
∂x
n
dx
n
.
(в)
Для скалярной функции y = f (x ) одного аргумента диффе-
ренциал равен приращению ординаты касательной к графику
функции в точке x
0
при переходе от точки x
0
к x, а для функ-
ции z = z(x, y) — приращению аппликаты касательной плоско-
сти при переходе из точки (x
0
, y
0
) в точку (x, y).
Заметим, что дифференциал суммы, произведения и част-
ного можно находить по формулам, подобным соответствую-
щим формулам для производных, т. е. d(u + v) = du + dv,
d(u · v) = vdu + udv, d
µ
u
v
=
vdu − udv
v
2
. Последние две фор-
мулы имеют место лишь для скалярнозначных функций.
19.1. Найдите дифференциал следующих функций:
f
1
(x) = e
x
2
sin 5x
; f
2
(x) = tg x
4
.
Решение. Данные функции являются скалярными функци-
ями одного скалярного аргумента. Поэтому по формуле (б) на-
ходим: df
1
= f
0
1
(x)dx = e
x
2
sin 5x
(2x sin 5x + 5x
2
cos 5x)dx;
df
2
= f
0
2
(x)dx =
1
cos
2
x
4
· 4x
3
dx.

Страницы