Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

19. Дифференциал 145
18.20. Запишите уравнения касательной плоскости и нор-
мали к поверхности, заданной уравнением:
а) z = 3x
2
+ 2y
2
− 12 в точке (2; −2; 8);
б) z = x
2
− 2y
2
+ 4xy + 6x −1 в точке (1; −2; −10);
в) z = 7x
2
− 4y
2
+ 8xy + 14x −8y + 62 в точке (−3; 2; 3).
18.21. Запишите уравнения касательной плоскости и нор-
мали к поверхности, заданной уравнением:
а) x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
= 6 в точке (1; −1; 1);
б) x
2
yz + 2x
2
z − 3xyz + 8 = 0 в точке (2; 0; −1);
в) 3x
2
−4y
2
+ 5z
2
+ 17xy −xz −6yz + 23x + 4y + 4z + 34 = 0
в точке (2; −2; 0).
18.22. К гиперболоиду 6x
2
+ 15y
2
− 10z
2
= 300 проведена
касательная плоскость, отсекающая на положительных коор-
динатных полуосях равные отрезки. Запишите её уравнение.
18.23. К поверхности x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
= 21 проведена ка-
сательная плоскость, параллельная плоскости x + 4y + 6z = 0
и пересекающая положительные координатные полуоси. Запи-
шите её уравнение.
19. Дифференциал
Как мы уже отмечали, функция f : X ⊂ R
n
→ Y ⊂ R
m
на-
зывается дифференцируемой в точке M
0
(x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
n
), ес-
ли ее приращение при переходе из точки M
0
в точку
M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) может быть представлено в виде
∆f = A · ∆x + α(∆x), (а)
где A — матрица размера m ×n (производная матрица) линей-
ного оператора — A : R
n
→ R
m
; ∆x = (∆x
1
, ∆x
2
, . . . , ∆x
n
)
T
—
вектор приращений (∆x
i
= x
i
− x
0
i
); α(∆x) — бесконечно ма-
лая вектор-функция порядка выше первого относительно |∆x|,
т.е. lim
∆x
i
→0
|α(∆x)|
|∆x|
= 0. Матрицу A называют производной мат-
рицей отображения f, а произведение A ·∆x называют диффе-
ренциалом функции f в точке M
0
и обозначают df, при этом

Страницы