Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

19. Дифференциал 147
19.2. Найдите дифференциал следующих функций:
f
1
(x, y) = x sin y + y sin x; f
2
(x, y, z) = xyz + y
2
;
f
3
(x, y) = x + y
x/y
.
Решение. Данные функции являются скалярными функци-
ями векторного аргумента, поэтому применяем формулу (в):
df
1
=
∂f
1
∂x
dx+
∂f
1
∂y
dy = (sin y + y cos x)dx + (x cos y + sin x)dy;
df
2
=
∂f
2
∂x
dx +
∂f
2
∂y
dy +
∂f
2
∂z
dz = yzdx + (xz + 2y)dy + xydz;
df
3
=
∂f
3
∂x
dx +
∂f
3
∂y
dy =
µ
1 + y
(x/y)
ln y ·
1
y
dx+
+y
(x/y)
µ
−
x
y
2
ln y +
x
y
2
dy.
Заметим, что при фиксированном y функция y
(x/y)
показа-
тельная, а при фиксированном x — степенно-показательная:
y
(x/y)
= e
(x/y)·ln y
.
Найденные дифференциалы функций f
1
, f
2
, f
3
иногда на-
зывают полными. Они находятся при условии, что изменяются
все аргументы. Дифференциал, вычисленный при условии, что
изменяется только один аргумент, а остальные — константы,
называют частным и обозначают d
x
1
f, d
x
2
f, . . . , d
x
n
f. Напри-
мер, d
x
1
f =
∂f
∂x
1
dx
1
. Величина d
x
1
f есть дифференциал функ-
ции f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), найденный при условии, что изменяется
только аргумент x
1
, а остальные постоянны. Из решения зада-
чи 19.2 следует, что d
x
f
1
= (sin y + y cos x)dx,
d
y
f
1
= (x cos y + sin x)dy.
Чтобы найти дифференциал векторной функции скалярно-
го или векторного аргумента, нужно найти дифференциалы их
координатных функций, так как если
f =
f
1
f
2
.
.
.
f
n
, то df =
df
1
df
2
.
.
.
df
n
.

Страницы