Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

194 Дифференциальное исчисление
указать участки выпуклости, вогнутости и точки перегиба гра-
фика функции.
8. Вычислить значения функции в характерных точках.
9. По полученным данным построить график функции.
28.1. Исследуйте функцию f(x) =
x
3
4 − x
2
и постройте её
график.
Решение
1. Область определения функции (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪
∪(2, +∞). Область значений функции (−∞, +∞).
2. Так как f (−x) = −f(−x), то функция f(x) нечётна.
3. Функция непериодическая.
4. Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме то-
чек x = ±2, где она терпит разрыв второго рода, так как
lim
x→±2
x
3
4 − x
2
= ∞. Прямые x = 2 и x = −2 — двусторонние вер-
тикальные асимптоты.
5. Находим наклонные асимптоты y = kx + b. Нами показа-
но, что
k = lim
x→∞
f(x)
x
= lim
x→∞
x
3
(4 − x
2
)x
= lim
x→∞
x
3
4x − x
3
= −1;
b = lim
x→∞
[f(x) − kx] = lim
x→∞
Ã
x
3
4 − x
2
+ x
!
=
4x
4 − x
2
= 0.
Итак, прямая y = −x — наклонная асимптота.
6. Находим
f
0
(x) =
3x
2
(4 − x
2
) + 2x · x
3
(4 − x
2
)
2
=
12x
2
− x
4
(4 − x
2
)
2
=
x
2
(12 − x
2
)
(4 − x
2
)
2
.
Видим, что точки x = 0 и ±
√
12 = ±3,46 — критические.
Из неравенства x
2
(12 − x
2
) < 0, x 6= ±2, следует, что при
x ∈ (−∞, −
√
12) и x ∈ (
√
12, +∞) функция f(x) убывает, а из
неравенства x
2
(12 − x
2
) > 0, x 6= ±2, получаем, что на про-
межутках (−
√
12, −2), (−2, 2) и (2,
√
12) функция возрастает.

Страницы