Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4. Числовые и векторные последовательности 43
(поделили числитель и знаменатель на n, величину n подвели
под знак корня, применили теорему о пределе частного, ис-
пользовали непрерывность функции
3
√
u, применили теорему о
пределе суммы);
б) lim
n→∞
4
√
n
3
+ 2n
2
(n + 3)
=
µ
∞
∞
= lim
n→∞
(
4
√
n
3
+ 2n)/n
(n + 1)/n
=
= lim
n→∞
4
p
n
3
/n
4
+ 2n/n
4
1 + 1/n
= lim
n→∞
4
p
1/n + 2/n
3
1 + 1/n
= 0
(обоснование всех операций сделать самостоятельно).
4.4. Найдите следующие пределы:
а) lim
n→∞
(
√
n
2
+ 6n + 8 − n); б) lim
n→∞
(
3
√
n
3
+ 1 −
3
√
n
3
+ 4).
Решение этих примеров основано на применении формул
(a − b)(a + b) = a
2
− b
2
и a
3
− b
3
= (a − b)(a
2
+ ab + b
2
).
а) lim
n→∞
(
√
n
2
+ 6n + 8 − n) = (∞ − ∞) =
= lim
n→∞
(
√
n
2
+ 6n + 8 − n)(
√
n
2
+ 6n + 8 + n)
√
n
2
+ 6n + 8 + n
=
= lim
n→∞
n
2
+ 6n + 8 − n
2
√
n
2
+ 6n + 8 + n
= lim
n→∞
(6n + 8)/n
(
√
n
2
+ 6n + 8 + n)/n
=
= lim
n→∞
6 + 8/n
p
1 + 6/n + 8/n
2
+ 1
=
6
1 + 1
= 3;
б) lim
n→∞
(
3
√
n
3
+ 1 −
3
√
n
3
+ 4) =
= lim
n→∞
³
3
√
n
3
+ 1
´
3
−
³
3
√
n
3
+ 4
´
3
3
p
(n
3
+ 1)
2
+
3
p
(n
3
+ 1)(n
3
+ 4) +
3
p
(n
3
+ 4)
2
=
= lim
n→∞
n
3
+ 1 − n
3
− 4
3
p
(n
3
+ 1)
2
+
3
p
(n
3
+ 1)(n
3
+ 4) +
3
p
(n
3
+ 4)
2
= 0.
В приведённых примерах мы имели неопределённость вида
∞ − ∞. При этом может получиться предел конечный, отлич-
ный от нуля, равный нулю или бесконечный.
Приведём примеры отыскания пределов, используя тео-
ремы о переходе к пределу в неравенствах и о существова-
нии предела монотонных ограниченных последовательностей
[6, п. 3.5.2, теорема 2].

Страницы