Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

42 Введение в математический анализ
Получаем:
а) lim
n→∞
2n
2
+ 5n + 4
n
2
+ 7
=
µ
∞
∞
= lim
n→∞
2 + 5/n + 4/n
2
1 + 7/n
2
= 2
(применили теорему о пределе частного, суммы и то, что
lim
n→∞
5
n
= lim
n→∞
4
n
2
= lim
n→∞
7
n
2
= 0);
б) lim
n→∞
n
2
− 2n + 3
n
3
+ 5n
2
+ 4
=
µ
∞
∞
= lim
n→∞
1/n − 2/n
2
+ 3/n
3
1 + 5/n + 4/n
3
= 0;
в) lim
n→∞
n
3
+ 4n + 1
n
2
+ n + 5
= lim
n→∞
1 + 4/n
2
+ 1/n
3
1/n + 1/n
2
+ 5/n
3
=
= lim
n→∞
µ
1 +
4
n
2
+
1
n
3
1
1/n + 1/n
2
+ 5/n
3
= ∞
как предел произведения последовательности, имеющей ко-
нечный предел, на бесконечно большую последовательность.
Второй сомножитель есть бесконечно большая последователь-
ность, так как последовательность
½
1
n
+
1
n
2
+
5
n
3
¾
— бесконеч-
но малая (теорема 3);
г) учитывая непрерывность функции y = x
2
, получаем
lim
n→∞
Ã
n
4
+ 2n
3
+ 3
2n
4
+ 3n
2
+ 2
!
2
=
µ
∞
∞
=
Ã
lim
n→∞
n
4
+ 2n
3
+ 3
2n
4
+ 3n
2
+ 2
!
2
=
=
Ã
lim
n→∞
1 + 2/n + 3/n
4
2 + 3/n
2
+ 2/n
4
!
2
=
µ
1
2
2
=
1
4
.
4.3. Найдите следующие пределы:
а) lim
n→∞
3
√
8n
3
+ 2n
2
− 1
n + 3
; б) lim
n→∞
4
√
n
3
+ 2n
2
(n + 3)
.
Решение:
а) lim
n→∞
3
√
8n
3
+ 2n
2
− 1
n + 3
=
µ
∞
∞
=
=
3
p
(8n
3
+ 2n
2
− 1)/n
3
(n + 3)/n
= lim
n→∞
3
p
8 + 2/n − 1/n
3
1 + 3/n
= 2

Страницы