Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4. Числовые и векторные последовательности 41
нужно найти пределы её координатных числовых последова-
тельностей [6, с. 91, теорема 1].
4.1. Исходя из определения предела последовательности,
докажите, что lim
n→∞
1
n
= 0.
Решение. Пусть U
ε
(0) любая ε-окрестность точки 0. Требу-
ется согласно определению предела последовательности най-
ти окрестность символа +∞ такую, что если n ∈ V
M
(+∞), т.е.
n > M, то должно выполняться
¯
¯
¯
¯
1
n
− 0
¯
¯
¯
¯
< ε, т.е.
1
n
< ε или
n >
1
ε
. Видим, что можно принять M =
1
ε
. Если выполнено
n >
1
ε
, то
1
n
< ε. Это и означает, что lim
n→∞
1
n
= 0.
Теоремы о пределе суммы, произведения и частного, сфор-
мулированные для функций непрерывного аргумента, перено-
сятся и на последовательности.
Применяя результаты решения задачи 4.1 и теорему о пре-
деле произведения последовательностей, легко находим, что
lim
n→∞
1
n
2
= lim
n→∞
1
n
· lim
n→∞
1
n
= 0.
Учитывая непрерывность функции f (x) = x
λ
, λ > 0, и при-
меняя теорему о пределе частного, получаем
lim
n→∞
1
n
λ
=
1
lim
n→∞
n
λ
= 0 при λ > 0.
4.2. Найдите пределы следующих последовательностей:
а) lim
n→∞
2n
2
+ 5n + 4
n
2
+ 7
; б) lim
n→∞
n
2
− 2n + 3
n
3
+ 5n
2
+ 4
;
в) lim
n→∞
n
3
+ 4n + 1
n
2
+ n + 5
; г) lim
n→∞
Ã
n
4
+ 2n
3
+ 3
2n
4
+ 3n
2
+ 2
!
2
.
Решение. Подобные пределы находят теми же методами,
что и пределы lim
x→+∞
f(x).
В примерах а), б), в) делим числитель и знаменатель на
старшую степень величины n.

Страницы