Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40 Введение в математический анализ
4. Числовые и векторные последовательности
Последовательность — это функция натурального аргумен-
та f(n) = y
n
: N → X. Если X ⊂ R, имеем числовую после-
довательность, если X ⊂ R
n
, то получаем векторную после-
довательность, если X — некоторое множество функций, то
получаем функциональную последовательность, и т.д. В этом
разделе мы будем изучать числовые и векторные последова-
тельности. После изучения теории вы легко сможете привести
любое число примеров числовых и векторных последователь-
ностей, например:
½
n
n + 1
¾
=
½
1
2
,
2
3
,
3
4
, . . . ,
n
n + 1
, . . .
¾
— чис-
ловая последовательность;
½
n + 1
n
;
1
n
¾
— векторная последо-
вательность: y
1
= (2;1), y
2
=
µ
3
2
;
1
2
, y
3
=
µ
4
3
;
1
3
, . . .
Вы заметили, что задание векторной последовательности
y
n
= {y
(1)
n
; y
(2)
n
; . . . ; y
(k)
n
} сводится к заданию k различных
числовых последовательностей {y
(i)
n
}, i = 1, 2, . . . , k, называе-
мых координатными.
Множество натуральных чисел имеет единственную пре-
дельную точку +∞, т.е. может быть только случай n → +∞.
Обычно знак «+» опускают и пишут n → ∞. Определение
предела последовательности дословно повторяет определение
предела функции при x → +∞. Напомним, что V
M
(+∞)-
окрестность элемента +∞ во множестве натуральных чисел
является множеством всех натуральных чисел, больших M.
Число A называют пределом числовой последовательности
{y
n
}, если для любой ε-окрестности U
ε
(A) числа A найдёт-
ся V
M
(+∞)-окрестность символа +∞ такая, что для любо-
го n ∈ V
M
(+∞), т.е. для всех n > M , выполняется условие
y
n
∈ U
ε
(A), т.е. |y
n
− A| < ε. Пишут A = lim
n→∞
y
n
.
Аналогично определяется предел векторной последователь-
ности. Очень важна для дальнейшего теорема о существова-
нии предела векторной последовательности, из которой следу-
ет, что для отыскания предела векторной последовательности

Страницы