Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

44 Введение в математический анализ
4.5. Найдите lim
n→∞
µ
1
√
n
2
+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ . . . +
1
√
n
2
+ n
.
Решение. Очевидно неравенство
n
√
n
2
+ n
<
1
√
n
2
+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ . . . +
1
√
n
2
+ n
<
n
√
n
2
+ 1
.
Находим lim
n→∞
n
√
n
2
+ n
= lim
n→∞
1
√
n
2
+ n/n
=
= lim
n→∞
1
p
1 + 1/n
= 1, lim
n→∞
n
√
n
2
+ 1
= lim
n→∞
1
p
1 + 1/n
2
= 1.
По теореме о «зажатой» функции [6, п. 3.5.5, теорема 3] полу-
чаем lim
n→∞
µ
1
√
n
2
+ 1
+
1
√
n
2
+ 2
+ . . . +
1
√
n
2
+ n
= 1.
4.6. Докажите, что последовательность
x
1
=
√
2, x
2
=
q
2 +
√
2, x
3
=
r
2 +
q
2 +
√
2, . . . ,
x
n
=
r
2 +
q
2 + . . . +
√
2, . . .
имеет предел и найдите его.
Решение. Очевидно, x
1
< x
2
< . . . < x
n
< x
n+1
< . . ., т.е.
данная последовательность монотонно возрастает. Докажем,
что она ограничена сверху.
Имеем равенство x
n
=
√
2 + x
n−1
. Так как x
1
< 2, то
x
2
=
√
2 + x
1
<
√
2 + 2 = 2, x
3
=
√
2 + x
2
<
√
2 + 2 = 2, . . .
Если доказано, что x
n−1
< 2, то x
n
=
√
2 + x
n−1
<
√
2 + 2 = 2.
Методом индукции мы доказали, что x
n
< 2. Итак, данная по-
следовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху,
а потому имеет предел.
Обозначим lim
n→∞
x
n
= a. Так как x
2
n
= 2 + x
n−1
, то, переходя
к пределу при n → ∞, получаем a
2
= 2 + a. Решая это квадрат-
ное уравнение, находим a
1
= 2, a
2
= −1.
Поскольку a ≥ 0 (все члены последовательности неотрица-
тельны), то a = lim
n→∞
x
n
= 2.

Страницы