Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

46 Введение в математический анализ
Используемое нами определение предела функции называ-
ют определением на языке окрестностей, или определением Ко-
ши. Известно и другое, эквивалентное первому, определение
предела на языке последовательностей, или определение Гейне.
Оно приведено в [6, п. 3.5.3]. Напомним его. Пусть функция
f(x) определена на множестве X и x
0
его предельная точка. Го-
ворят, что A = lim
x→x
0
f(x), если для любой последовательности
точек
{
x
n
}
,
x
n
6
=
x
0
из
X
, сходящейся к
x
0
, последовательность
{f(x
n
)} значений функции имеет пределом точку A.
Определение Гейне часто используют для доказательства
того, что предел не существует.
4.8. Докажите, что пределы
а) lim
x→0
cos
1
x
, б) lim
(x,y)→(0,0)
x + y
2x − y
не существуют.
Решение: а) извлечем две последовательности точек, сходя-
щиеся к нулю: {x
n
} =
½
1
2nπ
¾
, {y
n
} =
1
π
2
+ 2nπ
.
Находим, что cos x
n
= cos(2nπ) = 1, n = 0, 1, 2, . . .; cos y
n
=
= cos
µ
π
2
+ 2nπ
= 0, n = 0, 1, 2, . . .
Следовательно, lim
n→∞
cos x
n
= 1, lim
n→∞
cos y
n
= 0. Так как эти
пределы не равны, то по определению Гейне предел не суще-
ствует;
б) будем приближаться к точке (0, 0) по последовательности
точек (x
n
, 0), x
n
→ 0. Тогда lim
n→∞
f(x
n
, 0) = lim
n→∞
x
n
2x
n
=
1
2
.
Возьмём другую последовательность, сходящуюся к (0; 0),
например (0; y
n
), y
n
→ 0. Тогда lim
n→∞
f(0, y
n
) = lim
n→∞
y
n
−y
n
=
= −1. Так как
1
2
6= −1, то по определению Гейне предел б) не
существует.

Страницы